概率基础学习选读.doc

第一节、介绍微积分中极限、导数，微分、积分等相关概念； 第二节、介绍随机变量及其分布； 第三节、介绍数学期望.方差.协方差.相关系数.中心极限定理等概念； 第四节、依据数理统计学简史介绍正态分布的前后由来； 第五节、论道正态，介绍正态分布的4大数学推导。 ? ? 5部分起承转合，彼此依托，层层递进。且在本文中，会出现诸多并不友好的大量各种公式，但基本的概念.定理是任何复杂问题的根基，所以，你我都有必要硬着头皮好好细细阅读。最后，本文若有任何问题或错误，恳请广大读者朋友们不吝批评指正，谢谢。 ? ? 开头前言说，微积分是概数统计基础，概数统计则是DMML之必修课”，是有一定根据的，包括后续数理统计当中，如正态分布的概率密度函数中用到了相关定积分的知识，包括最小二乘法问题的相关探讨求证都用到了求偏导数的等概念，这些都是跟微积分相关的知识。故咱们第一节先复习下微积分的相关基本概念。 ? ? 事实上，古代数学中，单单无穷小、无穷大的概念就讨论了近200年，而后才由无限发展到极限的概念。 ? ? 极限又分为两部分：数列的极限和函数的极限。 ? ? 定义??如果数列{xn}与常a?有下列关系:对于任意给定的正数e?(),?总存在正整数N?,?使得对于n?N?时的一切xn,?不等式?|xn-a?|e都成立,?则称常数a?是数列{xn}的极限,?或者称数列{xn}收敛于a?,?记为或 ? ? 也就是说， ? ? 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义.?如果存在常数A,?对于任意给定的正数e?(),?总存在正数d,?使得当x满足不等式0|x-x0|d 时,?对应的函数值f(x)都满足不等式?????|f(x)-A|e?, 那么常数A就叫做函数f(x)时的极限,?记为 ? ? 也就是说， ? ? 几乎没有一门新的数学分支是某个人单独的成果，如笛卡儿和费马的解析几何不仅仅是他们两人研究的成果，而是若干数学思潮在16世纪和17世纪汇合的产物，是由许许多多的学者共同努力而成。 ? ? 甚至微积分的发展也不是牛顿与莱布尼茨两人之功。在17世纪下半叶，数学史上出现了无穷小的概念，而后才发展到极限，到后来的微积分的提出。然就算牛顿和莱布尼茨提出了微积分，但微积分的概念尚模糊不清，在牛顿和莱布尼茨之后，后续经过一个多世纪的发展，诸多学者的努力，才真正清晰了微积分的概念。 ? ? 也就是说，从无穷小到极限，再到微积分定义的真正确立，经历了几代人几个世纪的努力，而课本上所呈现的永远只是冰山一角。 ? ? 设有定义域和取值都在实数域中的函数。若在点的某个邻域内有定义，则当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为。 ? ? 即： ? ? 也可记为：，或。 ? ? 设函数在某区间内有定义。对于内一点，当变动到附近的（也在此区间内）时。如果函数的增量可表示为（其中是不依赖于的常数），而是比高阶的无穷小，那么称函数在点是可微的，且称作函数在点相应于自变量增量的微分，记作，即，是的线性主部。通常把自变量的增量称为自变量的微分，记作，即。? ? ? 实际上，前面讲了导数，而微积分则是在导数的基础上加个后缀，即为：。 ? ? 积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。 不定积分的定义 ? ? 一个函数的不定积分，也称为原函数或反导数，是一个导数等于的函数，即 ? ? 不定积分的有换元积分法，分部积分法等求法。 定积分的定义 ? ? 直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分： ? ? 定积分与不定积分区别在于不定积分便是不给定区间，也就是说，上式子中，积分符号没有a、b。下面，介绍定积分中值定理。 ? ? 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,?则在积分区间[a,b]上至少存在一个点,使下式成立： ? ??这个公式便叫积分中值公式。 牛顿-莱布尼茨公式 ? ? 接下来，咱们讲介绍微积分学中最重要的一个公式：牛顿-莱布尼茨公式。 ? ? ?如果函数F?(x)是连续函数f(x)在区间[a,?b]上的一个原函数,?则 ? ? 此公式称为牛顿-莱布尼茨公式,?也称为微积分基本公式。这个公式由此便打通了原函数与定积分之间的联系，它表明：一个连续函数在区间[a,?b]上的定积分等于它的任一个原函数在区间[a,?b]上的增量，如此，便给定积分提供了一个有效而极为简单的计算方法，大大简化了定积分的计算手续。 ? ? 下面，举个例子说明如何通过原函数求取定积分。 ? ? 如要计算，由于是的一个原函数，所以。 ? ? 对于二元函数z = f(x，y) 如果只有自变量x 变化，而自变量y固定 这时它就是x的一元函数，这函数对x的导数，就称