概率论C重修辅导之知识点选读.doc

第一、二章 基本概念与基本定理 一、知识点总结 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 (4)一些常见排列 特殊排列 相邻 彼此隔开 顺序一定和不可分辨 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件 顺序问题 2、随机试验、随机事件及其运算 （1）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 （2）事件的关系与运算 ①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）： 如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：AB，或者AB。AB=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 -A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率： ， 3、概率的定义和性质 （1）概率的公理化定义 设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P() =1 3° 对于两两互不相容的事件，…有 常称为可列（完全）可加性。 P(A)为事件的概率。 （2）古典概型（等可能概型） 1° ， 2° 。 设任一事件，它是由组成的，则有 P(A)= = 4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯） （1）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) （2）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P()=1- P(B) （3）条件概率和乘法公式 定义 设A、B是两个事件，且P(A)0，则称为事件AB发生的条件概率，记为。 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A) 乘法公式： 更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)0，则有 …………。 （4）全概公式 设事件满足 1°两两互不相容，， 2°， 。 此公式即为全概率公式。 （5）贝叶斯公式 设事件，，…，及满足 1° ，，…，两两互不相容，0，1，2，…，， 2° ，， ，i=1，2，…n。 此公式即为贝叶斯公式。 ，（，，…，），通常叫先验概率。，（，，…，），通常称为后验概率。如果我们把当作观察的“结果”，而，，…，理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。 5、事件的独立性和伯努利试验 （1）两个事件的独立性 设事件、满足，则称事件、是相互独立的（这个性质不是想当然成立的）。 若事件、相互独立，且，则有 所以这与我们所理解的独立性是一致的。 若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。（证明） 由定义，我们可知必然事件和不可能事件?与任何事件都相互独立。（证明） 同时，?与任何事件都互斥。 （2）多个事件的独立性 设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。 两两互斥→互相互斥。 两两独立→互相独立？ （3）伯努利试验 定义 我们作了次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果，发生或不发生； 次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验发生与否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。 用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率，