- 1、本文档共191页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多
§5.9 等式约束下多元函数的寻优方法 前面给大家介绍了无约束非线性函数的寻优方法。但是在很多实际的非线性规划问题中,其变量的取值都有一定的限制,也就是说,非线性规划问题一般是有约束条件的寻优问题。约束条件可分为等式与不等式约束,处理等式约束问题与不等式约束问题的方法也有所不同。 对于有约束条件的寻优问题,到目前为止可以说还没有一种十分有效的方法。下面仅介绍几种有代表性的方法。 等式约束下多元函数的寻优方法 一、等式约束下的消元法 该方法的基本思路是:对于有n个变量、m个等式约束的非线性规划问题,通过约束等式将m个变量用另外n-m个变量表示出来,然后代入目标函数表达式,从而将一个n元函数的有约束最优化问题转化为一个n-m元函数的无约束最优化问题,这样就可利用前面介绍的无约束最优化问题的寻优方法进行求解。 设非线性规划问题的形式为: 等式约束下多元函数的寻优方法 如果能把gi(x1,x2,…,xn)=0改写为: xi=φi(xm+1, xm+2,…, xn) (i=1~m) 将上式代入目标函数式,化简后可得新的目标函数f1(xm+1, xm+2,…, xn) 。这样,就把一个求具有m个等式约束的n个变量的寻优问题,转化成为仅有n-m个变量的无约束的寻优问题。 等式约束下多元函数的寻优方法 二、拉格朗日(Lagrangian)乘子法 如上所述,消元法如果能用,是有效的。但要采用消元法,必须首先求解约束方程,而这一步往往是繁杂的,甚至多数情况下是难以做到的。下面介绍的拉格朗日乘子法是一种更为有效的方法。 1、等式约束时极值存在的必要条件 我们先来看二元函数的情况。对于二元函数来说,设目标函数为f(x1,x2),等式约束为g(x1,x2)=0。在无约束时,极值点存在的必要条件为: 等式约束下多元函数的寻优方法 当有等式约束时,除了以上的关系式仍成立外,还必须满足: 这就是说,在等式约束下,使 f 极小的dxl与dx2已不能任意选取,必须满足式(2)。由式(1)和式(2)可得: 等式约束下多元函数的寻优方法 这就是在等式约束下使目标函数 f 为极小的必要条件。 等式约束下多元函数的寻优方法 2、拉格朗日乘子法的计算方法和步骤 式(3)可改写为: 令此值等于一个可正可负的常数 λ λ称为拉格朗日待定系数,或简称为拉格朗日乘子。由式(4)及g(xl,x2)得: 等式约束下多元函数的寻优方法 解此方程组可得x1*,x2*,λ,即求出极值点。方程组(5)相当于求解一个无约束的函数: L(x1,x2, λ)=f(x1,x2)- λg(x1,x2) (6) 等式约束下多元函数的寻优方法 的极值点。此函数极值点存在的必要条件为: 式(7)的结果即为式(5)。这个新定义的函数L称为拉格朗日函数。 综上所述,通过应用拉格朗日乘子,可使求等式约束条件下函数f的极小点转化为求拉格朗日函数L的驻点。这种引进待定乘子λ,将有等式约束的寻优问题转化为无约束寻优问题的做法,称为拉格朗日乘子法。 等式约束下多元函数的寻优方法 例:用拉格朗日乘子法求下列问题的极小点: 等式约束下多元函数的寻优方法 解此方程组可得:x1*=5,x2*=3,λ*=-3,f*=17。此即为所求问题的极小点。一般来说,对于简单的情况,消元法比较简单,但对于复杂的情形,拉格朗日乘子法是很有价值的。 对于目标函数为n元函数f(X),且有m个等式约束的非线性规划问题: 等式约束下多元函数的寻优方法 拉格朗日函数为: 函数L为极小的必要条件为: 为m个拉格朗日乘子组成的行向量,g(X)为m个约束函数组成的列向量。 等式约束下多元函数的寻优方法 这里未知数xj(j=1~n)及λi(i=1~m)共有n+m个,而式(8)也正好有n+m个,故可以求解。由于引入了λi,使变量及方程的数目都增加了。对于f(X)和gi(X)比较复杂的情况,方程组(8)一般为非线性方程组,求解一般比较困难,这时一般采用直接寻优法求解拉格朗日函数的驻点。 为了便于在计算机上利用直接寻优法进行迭代计算,一般引入新的函数: 等式约束下多元函数的寻优方法 该式与式(8)是等价的。这样,有约束的原问题就转化为无约束的问题了。然后,利用无约束多变量函数的寻优方法对函数Z求极小值,即可得到原问题的最优解。 等式约束下多元函数的寻优方法 三、罚函数法 利用持定乘子求解有约束的寻优问题,还有一种近似、但经常使用的方法,即所谓罚函数法,也称惩罚函数法或代价函数法。 罚函数法的基本思想: 设原问题为: 等式约束下多元函数的寻优方法 我们知道,如果不考虑等式约束条件,仅用f(X)作为无约束问题求解的话,所得的点不是原问题的解,一般会相差很远。如果把约束条件作为一个“惩罚”一并考虑进来的话,结果可
您可能关注的文档
- 第三章电子商务安全选读.ppt
- 广东省设计标准化04-桥梁下部结构宣贯选读.ppt
- 第5章波动学基础-杨宏春选读.ppt
- 深信服渠道初级认证培训04VPN资源、角色和策略组选读.ppt
- 第三章概率与概率分布选读.ppt
- 深信服-弱电系统设计方案v1.1选读.doc
- 深信服设备全产品线图标选读.ppt
- 第三章工程建设投标选读.ppt
- 桂林热水工程技术标部分选读.doc
- 第5章单项交流电路选读.ppt
- 第四课综合检测-高一政治上学期随堂小卷(统编版必修1)(解析版)_new.docx
- 女性领导力崛起:走进中国女性高管的职场现状白皮书.pptx
- 高一上学期期末政治试题(原卷版)_new.docx
- 第三课综合检测-高一政治上学期随堂小卷(统编版必修1)(解析版)_new.docx
- 第一课综合检测-高一政治上学期随堂小卷(统编版必修1)(解析版)_new.docx
- 第一课综合检测-高一政治上学期随堂小卷(统编版必修1)(原卷版)_new.docx
- 高一上学期11月月考政治试题(原卷版)_new.docx
- 第三课综合检测-高一政治上学期随堂小卷(统编版必修1)(原卷版)_new.docx
- 第四课综合检测-高一政治上学期随堂小卷(统编版必修1)(原卷版)_new.docx
- 2021-2022学年陕西省西安市临潼华乐学校高一语文月考试卷含解析.docx
文档评论(0)