第三章力学量用算符表达选读.ppt

** 因此力学量A的本征态的定义就是：A的观测值有唯一确定结果的特殊量子态。换言之，在A的本征态下测量A（注意仅仅对力学量A而非其他力学量），结果是唯一的！ * * 根据这个结果，A的本征值An等于在本征态下A的平均值，然而本征态下测量A，结果是唯一确定的，所以测量值就是平均值，因此有下面的结论：A的本征态下测量A，测量结果不仅唯一，而且就等于本征值An * (*)式左边不确定度的定义类似于物理实验数据处理中的标准差（标准误差）的定义。但是要注意，这里力学量测量值的不确定度（即涨落）不是由于测量仪器或者操作者导致的，而是量子力学原理决定的。 * 例如，坐标和动量不对易，所以两者不能同时确定；再如，Lz和L2算符有共同的本征函数Ylm，就是因为它们对易。 * * 例如Y00就是lx和ly的共同本征态，在Y00态下两个同时有确定值0，但两者并不对易。 * 左边 因算符A厄米，所以上式 该式表明，厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交，结合波函数的归一化条件： 厄密算符属于同一本征值的本征函数（i.e.简并态）可以经过重新组合使之正交。 设力学量A的本征方程为 即属于同一本征值An的本征态有f 个，称本征值An为f 重简并。一般来说，这些简并的本征函数?ni不一定彼此正交，但是可以让它们线性叠加后，使之彼此正交，即令 ?nj仍为算符A的本征态，相应本征值仍为An，因为 通过选择系数aji，可以使得?nj彼此正交归一： 因该式提出了 正交条件和f个归一化条件，故该式包含独立方程数目 而系数aji共f 2个，显然 综上，无论厄密算符的本征函数是否简并，其本征函数系正交归一（波函数归一化之要求）。 算符A的本征值An简并意味着： 当An确定后还不能唯一地确定体系状态，要想唯一地确定状态还得寻找另外一个或几个力学量算符，算符A与这些算符须两两对易，这些算符的本征值与An 一起共同确定状态……(后话：用一组彼此对易的力学量算符的本征值来标定简并态 ? 对易力学量完全集 ) 1. 动量本征函数组成正交归一系 实例 对应本征值p 2. 线性谐振子能量本征函数组成正交归一系 厄米多项式的正交性 3. 角动量本征函数组成正交归一系 (1) lz 本征函数 (2) l 2本征函数 Ylm也是l 2和lz的共同本征函数 = d? （2）厄米算符本征函数的完备性 厄密算符的本征函数具有完备性。 设算符 厄米，其本征函数系{?n(x)} 正交归一，n取分立值或连续值，对应本征值是An，则任一波函数?(x)均可按?n(x)展开： 若本征值取值连续，则上式改写成： 本征函数的这种性质称为完备性或完全性。 (如动量本征函数) 展开系数Cn可由{?n(x)} 的正交归一性给出： 若波函数?(x)已经归一化，则 另一方面， ?(x)态下力学量A的平均值 （4） 由(4)、(5)两式， 具有几率的意义：表示在?(x)态下，测量力学量A，得到的结果是A的本征值An的概率。 （5） 归纳前面之分析，引进一个假定： 【前提： ?(x)归一化，参加例7】 而一旦体系处于某个特定态—本征态?n时，测量值就唯一确定，就等于与该本征态?n对应的本征值An。 量子力学基本假定：在任意态?下测量力学量A时所有可能出现的值，都对应于线性厄密算符 的本征值An（即测量值是本征值之一），测得An的概率是 ，本征值An则由力学量算符 的本征方程给出： 质量为?的质点,在xy平面上绕固定点(取为坐标原点)o并与点o保持恒定距离R运动,这个体系称为平面转子； 若该质点在三维空间中绕固定点(取为坐标原点)o并与点o保持恒定距离R运动,这个体系称为空间转子. 本节例题 例6：平面转子和空间转子的能量本征态和本征值 平面转子的哈密顿算符和本征值方程为: 显然，能量算符的本征函数就是 的本征函数，故: 相应本征值 显然，对于同一能量本征值Em，有两个本征函数对应：eim? 和 e-im?，所以平面转子的能级二重简并。 （简并？） 空间转子的哈密顿算符和本征值方程为: 能量本征值为: 归一化的本征函数为球谐函数 讨论：空间转子的能级是否简并？如果简并，E1能级的简并度？ 本节例题 例7：已知某量子系统处于如下状态 试问：（1）Ψ是否是l 2算符的本征态？ （2）Ψ是否是lz算符的本征态？ （3）求l 2 的平均值； （4）在Ψ态中分别测量l 2和lz时得到的可能 值及其相应的几率。 解： 故Ψ 不是 l 2 算符的本征态。 Ψ是lz算符的本征态，本征值为?。 (3) 求l 2 的平均值 归一化手续： 方法I： （? 归一化） 归一化波