第5章相似矩阵及二次型选读.ppt

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* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 正惯性指数与负惯性指数 二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数? 负系数的个数称为负惯性指数? 若二次型 f 的正惯性指数为p? 秩为r? 则 f 的规范形便可确定为: f?y12? ??? ?yp2?yp?12? ??? ?yr2 二、正(负)定二次型的概念 [定义]设实二次型 ? 如果对任何 ? 则称f为正定二次型? 并称矩阵A是正定的? 如果对任何 有 ? 则称 f 为负定二次型? 并称矩阵A是负定的? 说明: 无论正定还是负定矩阵其前提必须首先是对称矩阵? 三、正(负)定二次型的判别 [推论]对称阵A为正定的充分必要条件是? A的特征值全为正? [定理5-10]二次型 为正定的充分必要条件是? 它的标准形的n个系数全为正? 即它的正惯性指数等于n? 1、形式判别法 为正定二次型 为负定二次型 例如 [定理5-11](赫尔维茨判据) (1)对称阵A为正定的充分必要条件是? A的各阶主子式都为正? 即 2、主子式判别法 (2)对称矩阵A为负定的充分必要条件是:奇数阶主子式为负,而偶数阶主子式为正,即 正定矩阵具有以下一些简单性质 [例5-17]判定二次型f??5x2?6y2?4z2?4xy?4xz的正定性? f 的矩阵为 [解] 因为主子式 根据[定理5-11]知 f 为负定? [例5-18]判定二次型f? 5x2+y2+5z2?4xy-8xz-4yz的正定性? f 的矩阵为 [解] 它的主子式 故上述二次型是正定的. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 思考题解答: §5-5 二次型及其标准形 在解析几何中? 为了便于研究二次曲线 ax2?bxy?cy2?1 的几何性质? 我们可以选择适当的坐标旋转变换 把方程化为标准形 mx?2?ny?2?1? 化标准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式? 使它只含有平方项? 一、二次型及其标准形的概念 [定义] 含有n个变量x1? x2? ? ? ?? xn的二次齐次函数 称为二次型。 当aij 是实数时,称 f 为实二次型; 当aij 是复数时,称 f 为复二次型; 只含有平方项的二次型,如 称为二次型的标准形(或法式). 例如: 为二次型; 为二次型的标准形. 如果二次型的标准形形如 f?y12?y22? ? ? ? ?yp2?yp?12? ? ? ??yn2? 称为二次型的规范形。 二、二次型的表示方法 1、和号表示 令aij?aji ? 则 2、用矩阵表示 令 则? 二次型可记作 : 其中A是一个对称矩阵。 对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵。 三、二次型的矩阵和秩   在二次型的矩阵表示中,任给一个二次型,就唯一地确定一个对称矩阵;反之,任给一个对称矩阵,也可唯一地确定一个二次型.这样,二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系: f 也叫做对称矩阵A的二次型。 对称矩阵的秩就叫做二次型 f 的秩。 [例]写出二次型 的矩阵。 [解] 四、化二次型为标准形 设   对于二次型,我们讨论的主要问题是:寻求 可逆的线性变换,将二次型化为标准形. 记P=(Pij),则上述可逆线性变换可记为: 将其代入二次型中,使其只含平方项,即: [定义]设A和B是n阶矩阵,若有可逆矩阵P? 使B?PTAP? 则称矩阵A与B合同? 合同矩阵 说明: (1) 若A与B合同(即存在可逆阵P,使B?PTAP)?若A为对称,则B也为对称阵? 且R(B)?R(A)? (2)经可逆变换x?Py后? 二次型 f 的矩阵由A变为与A合同的矩阵PTAP? 且二次型的秩不变。 (3)三种关系: 等价关系: P、Q可逆 相似关系: P 可逆 合同关系: P可逆 等价 相似 合同 对称阵 分析? 即要使PTAP成为对角阵? 因此? 我们的主要问题就是? 对于对称阵A? 寻

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