第6章函数逼近2选读.ppt

四、第二类切比雪夫多项式 [-1，1]上 正交性 递推关系 正交性 递推关系 五、埃尔米特（Hermite）多项式 数值分析——函数逼近 6.4.3 正交多项式族作最佳平方逼近 是区间[a,b]上带权的正交多项式序列 法方程简化为： 最佳平方逼近多项式为 ： (1)切比雪夫: (2)勒让德 : 平方误差： 数值分析——函数逼近 【注】 （1） 用正交函数族作最佳平方逼近避免了法方程组的病态 . （2）首1n次式中勒让德在[-1，1]上与零的平方误差最小. 平方误差 : 数值分析——函数逼近 例6 求[-1，1]上的二次最佳 解： 勒让德多项式 平方逼近多项式 * 逼近多项式 平方误差 6.5 离散数据的最小二乘法 应用：曲线拟合、线性预测及超定方程组的求解. 几何意义： 如图 数值分析——函数逼近 * 问题的提法：给定数据表. (1)逼近函数类Ф: (2)最佳的意义： 误差平方和最小. 6.5.1 最小二乘解的计算 求S*(x) ，等价于求多元函数极值的问题. 令 利用极值的必要条件. 记 数值分析——函数逼近 由（6.15）式写成 ， （6.15） 即 数值分析——函数逼近 由于 线性无关， 得唯一解ak*(k=0,1,…,n) 平方误差： 6.5.2 常用的多项式拟合 (1) 直线拟合（n=1）： (2) 二次拟合（n=2）： 法方程： 数值分析——函数逼近 满足法方程: 例8 求实验数据表的最小二乘拟合函数. 解： 描点作图： 取 计算得到： 列法方程： 解得： 得到最小二乘拟合曲线: 平方误差: 数值分析——函数逼近 例9 求一形如 的经验公式， 使它与给出的数据拟合. 解： 非线性函数线性化： 两边取对数，得到 ： 其中 计算得： 法方程： 解得： 所以 所求最小二乘拟合的经验公式为: 平方误差： 数值分析——函数逼近 6.6 离散数据拟合的MATLAB函数 一、polyfit 1．polyfit（）函数：求离散数据的多项式拟合. 命令格式为：a=polyfit(x,y,n) 2．polyval（）函数:求多项式在某一点处的函数值. 命令格式为:y=polyval(p,x) 例8 利用polyfit作二次拟合，输出多项式的系数, 并利用polyval计算拟合多项式值，画出拟合曲线. x=[-2 -1 0 1 2 3 4];y=[19.5 10.2 3.5 4.8 12.4 26.1 43.9]; a=polyfit(x,y,2) xx=-2:0.1:4;yy=polyval(a,xx); plot(xx,yy,x,y,*) 数值分析——函数逼近 运行得：a = 2.9774 -1.8869 4.2000.拟合曲线见图. 二、lsqcurvefit 非线性最小二乘拟合函数. 命令格式为： x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata) 例9 利用lsqcurvefit作非线性最小二乘拟合. x=[1 2 3 4];y=[7 11 17 27]; f=inline(a(1)*exp(a(2).*x),a,x); a=lsqcurvefit(f,[4 0.4],x,y) 运行得到:a = 4.4274 0.4515. 数值分析——函数逼近 三、lsqnonlin 非线性最小二乘拟合函数. 命令格式为： x=lsqnonlin(fun,x0) 例9 利用lsqnonlin作非线性最小二乘拟合. function y=curve_fun(p) x=[1 2 3 4];y=[7 11 17 27]; y=p(1)*exp(p(2).*x)-y; a=lsqnonlin(curve_fun,[4 0.4]) 编写拟合的目标函数curve_fun.m 利用lsqnonlin函数求解 运行得到:a = 4.4274 0.4515. 四、nlinfit 非线性回归函数 命令格式为：beta= nlinfit(x,y,fun,beta0) 数值分析——函数逼近 例9 利用nlinfit作非线性最小二乘拟合. x=[1 2 3 4];y=[7 11 17 27]; f=inline(a(1)*exp(a(2).*x),a,x); a=nlinfit(x,y,f,[4 0.4]) 运行得到：a = 4.4274 0.4515. 数值分析——函数逼近 * 【注】 MATLAB配有自动选择数学模型的程序，可供选择的因变量与自变量变换的函数类型较多，通过计算比较误差找到拟合得较好的曲线，最后输出曲线图形及数学表达式. 用最小二乘法得到的法方程，其系数矩阵是病态的.为克服法方程的“病态”，可用正交多项式基底来构造逼近多项式.