矢量与场论讲义讲义.ppt

§1 场的概念（Field） 3、描述方法 二、数量场、矢量场的描述方法 2、方向导数 方向导数是数性函数 在一点处沿任意方向 对距离的变化率，它的数值与所取 的方向有关， 一般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但 它并不是矢量。如图所示， 为场中的任意方向，M0是这个方向线上给定的一点，M为同一线上邻近的一点。 为M0和M之间的距离，从M0沿 到M的增量为 若下列极限 存在，则该极限值记作 ，称之为数量场 在M0处沿 的方向导数。 例题 方向导数与梯度的关系： 是等值面 上p1点法线方向单位矢量。它指向 增长的方向。 表示过p2 点的任一方向。 易见， 所以 即 该式表明： 即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投影。 梯度的概念重要性在于，它用来表征数量场 在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。 4、 算符（哈密顿算符） 算符既具有微分性质又具有方向性质。在任意方向 上移动线元距离dl， 的增量 称为方向微 分，即 显然，任意两点 值差为 总结：数量场梯度的性质 （1）数量场沿任一方向的方向导数等于梯度在该方向的投影。 （2）数量场在任一点的梯度垂直于过该点的等值面，且指向场增大的一方。（注意：等值面的法向有两个） （3）一个数量场的梯度（一旦）确定，则该数量场也随之确定，最多相差一个任意常数 §3 矢量场的通量与散度 1、通量 一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场 方向通过 的流量是dQ，而dQ是以ds为底，以v cosθ为高的斜柱体的体积，即 称为矢量 通过面元 的通量。 对于有向曲面s，总可以 将s分成许多足够小的面元 ， 于是 通过曲面s的通量f即为每一面元通量之和 对于闭合曲面s，通量f为 例题 如果曲面s是闭合的，并规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是： 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭 合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系 散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当div ，表示该点有散发通量 直接从散度的定义出发，不难得到矢量场 在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲 面所包含体积中矢量场散度的积分。 上式称为矢量场的Gauss定理。 推论2 若处处散度为0，则通量为0. 推论3 若某些点（或区域）上有散度不为0或不存 在，而在其他点上都有散度为0，则穿出包围这些点（或区域）的任一封闭曲面的通量都相等，为一常数。 电学上的高斯定理： 穿出任一封闭曲面S的电通量，等于其内各点电荷的代数和。 高斯定理 1. 矢量场的环量 定义：①线矢量l: 矢量场A中的 一条封闭的有向曲线 ②环量Г：（图2） 性质：① Г是标量 ② Г≠ 0，l 内有旋涡源 ③ Г=0，l 内无旋涡源 性质：l围成的面元法矢量 旋涡面的方向 矢量R ①在任意面元方向上的投影就给出该方向的环量面密度 ②方向为环量面密度最大的方向；模为最大环量面密度的值 ⑵ 旋度的定义 定义：固定矢量R为矢量A的旋度，记作 ：rot A=R 矢量场的Helmholtz定理 空间区域V上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无源矢量场的叠加，即： §0-3 矢量场的旋度 斯托克斯定理 Rotation of Vector Field, Stoke’s Theorem 1、矢量场 的环流 在数学上，将矢量场 沿一条有向闭合曲线L（即取定了正线方向的闭合曲线）的线积分 称为 沿该曲线L的循环量或流量。 2、旋度 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么 以闭合曲线L为界的面积 逐渐缩小， 也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记作 即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向 ，且通常L的正方向与 规定要构成右手螺旋法则，为此定义 称为矢量场 的旋度（rot是rotation缩写）。