3.3.1综合法 课件（北师大版选修1-2）.ppt

【解题指南】(1)依据等比数列的定义进行证明；(2)依据等差数列的定义进行证明. 【证明】(1)由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3，两式相减得(3+m)an+1=2man(m≠-3)， ∴ ∴数列{an}是等比数列. (2)∵(3-m)Sn+2man=m+3, ∴(3-m)a1+2ma1=m+3,∴a1=1, ∴b1=a1=1,q=f(m)= ∴n∈N*且n≥2时， ∴bnbn-1+3bn=3bn-1,即 ∴{ }是首项为1，公差为 的等差数列. * 3.1 综 合 法 1.了解综合法的思考过程与特点. 2.能熟练地运用综合法证明命题. 本课重点是综合法的应用. 本课难点是证明过程的严谨性与条理性的安排. 综合法 (1)定义 从命题的_____出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通 过_________，一步一步地接近要证明的_____，直到完成命题 的证明，这种思维方法称为_______. 条件 演绎推理 结论 综合法 (2)推证过程 (3)特点：顺推证法或___________. 由因导果法 1.综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 提示：综合法的推理过程是演绎推理，它的每一步推理都是严密的逻辑推理，得到的结论是正确的. 2.在不等式“a2+b2≥2ab”的证明中:∵a2+b2-2ab=(a-b)2 ≥0,∴a2+b2≥2ab,该证明用的证明方法是______. 提示:综合法. 3.角A,B为△ABC内角，A＞B是sinA＞sinB的_____条件. 【解析】A＞B?sinA＞sinB，sinA＞sinB?A＞B, 故为充要条件. 答案：充要 对综合法的两点认识 (1)综合法是“由因导果”，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立，因此综合法又叫做顺推证法或由因导果法. (2)综合法的思维特点是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. 用综合法证明等式 【技法点拨】 证明等式的常用方法与技巧 (1)方法：从已知条件入手，利用已有的结论(定义、定理、公式等)由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论. (2)技巧：在推理过程中常用到一些变化技巧，如角的变化，恒等式的变化，特别是在证明三角恒等式时要合理地转化已知条件. 【典例训练】 1.在△ABC中，设 =a, =b，求证:S△ABC= 2.若sinθ，sinα,cosθ成等差数列,sinθ,sinβ，cosθ成 等比数列. 求证：2cos2α=cos2β. 【证明】1.因为S△ABC= cosC= 所以 = 于是S△ABC= 2.由题设知sinθ+cosθ=2sinα, 则1+2sinθ·cosθ=4sin2α, 即sin2θ=4sin2α-1. ① 又由sinθ，sinβ，cosθ成等比数列, 得sinθ·cosθ=sin2β, 即sin2θ=2sin2β. ② 由①②得4sin2α-1=2sin2β, ∴2(1-cos2α)-1=1-cos2β, ∴2cos2α=cos2β. 【思考】(1)解答题1易忽视的问题是什么?(2)解答题2的关键点是什么? 提示：(1)解题1时易忽视公式S△ABC= absinC而导致错误. (2)解题2时应充分利用等差和等比数列的定义对条件进行转化,结合倍角公式即可证得. 【变式训练】已知向量 b 其中A,B是△ABC的内角，a⊥b，求证：tanA·tanB为定值. 【解题指南】由a⊥b?a·b=0，然后结合三角公式进行化简，即可证得结论. 【证明】由a⊥b得a·b=0, ∴ 即 化简得4cos(A-B)-5cos(A+B)=0, ∴4cosA·cosB+4sinA·sinB-5cosA·cosB+5sinA·sinB=0, ∴9sinA·sinB=cosAcosB, 即tanA·tanB= ,为定值. 综合法证明不等式 【技法点拨】 综合法证明不等式的主要依据 综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个： ①a2≥0(a∈R)； ②(a-b)2≥0(a,b∈R)，其变形有a2+b2≥2ab, ③若a,b∈(0,+∞)，则 特别是 ④a2+b2+c2≥ab+bc+ac(a,b,c∈R)，由不等式a2+b2≥2ab易得a2+b2+c2≥ab+bc+ac，此结论是一个重要的不等式，在不等式的证明中使用频率很高； ⑤(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)体现了a+b+c,a2+b2+c2与ab+bc