3.4 反证法 （北师大版选修1-2）.pptVIP

课前探究学习 课堂讲练互动 1．了解间接证明的一种基本方法——反证法． 2．了解反证法的思考过程、特点． 3．理解反证法的推理过程，证明步骤，体会直接证明与间 接证明的区别与联系． 1．体会反证法的思考过程、特点，培养逆向思维能 力．(重点) 2．利用反证法证明．(难点、重点) 3．反证法的假设．(易错点) §4　反证法 【课标要求】 【核心扫描】 在证明数学问题时，先假定 成立，在这个 前提下若推出的结果与 、 、 矛盾，或 与命题中的 相矛盾，或与 相矛盾，从 而断定 不可能成立，由此断定. . 成立，这种证明方法叫作反证法． 自学导引 1．反证法的定义 命题结论的反面 定义 公理 定理 已知条件 假定 命题结论的反面 命题的结论 分析反证法证明命题“若p则q”时，可能会出现几 种情况？ 提示　可能会出现以下三种情况： (1)导出非p为真，即p假，也就是与原命题的条件矛盾； (2)导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾； (3)导出一个恒假命题，即与定义、公理、定理矛盾． 想一想： 通过导出矛盾，归结为谬误而使命题得证．因此，这种反 证法也叫归谬法． 在反证法的应用中，其难点是如何引出矛盾，用反证法证 明命题“若p则q”时，引出矛盾的形式有下面三个方面： (1)假设结论q不成立，经过推理论证得到条件p不成立，即 与原命题的条件矛盾． (2)假设结论q不成立，经过推理论证得到结论q成立，即由 “非q为真”推出了“q为真”，形成了自相矛盾． 名师点睛 1．反证法的特征 2．反证法矛盾构设的几种情况 (3)假设结论q不成立，经过推理论证得到了一个恒假命 题，即与某个“公理、定义、定理、性质”矛盾，或与某 个概念结论显然矛盾． 反证法主要适用于以下几种情形： (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出 结论的线索不够清晰； (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而 从反面进行证明，只需研究一种或很少的几种情形． 3．反证法的应用 4．反证法的证题步骤 设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1， 求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1. 由条件不能正面证明结论，采用反证法假设结 论不成立，将已知条件代入整理可得出与已知条件矛盾． 题型一　“否定”型命题 【例1】 [思路探索] 　假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，因为ad－bc＝ 1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0， 即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0， 所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0， 所以a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾． 故假设不成立，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1. 本题为“否定”型命题，显然从正面证明需 要证明的情况太多，不但过程繁琐而且容易遗漏，故可以 考虑采用反证法．一般当题目中含有“不可能”、“都 不”等否定性词语时，宜采用反证法证明． 规律方法 证明 用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条 直线b与已知直线a平行． 由平行直线的定义可知过直线外一点至少可以 作一条已知直线的平行线．而“只有一条”可通过假设过 点A有两条直线与直线a平行，由平行公理推出与假设矛 盾． 证明　由两条直线平行的定义和几何图形可知，过点A至 少有一条直线与直线a平行．假设过点A还有一条直线b′ 与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.因为b∥a，由平 行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错 误，原命题成立． 题型二　“唯一”型命题 【例2】 [思路探索] 用反证法证明问题时要注意以下三点： (1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈 现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可 能，反证都是不完全的； (2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作 为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结 论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法； (3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与 假设矛盾，有的与事实矛盾