3.4 对 数(一)课件（北师大版必修一）.ppt

课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升 §4 对 数（一） 1．理解对数的概念． 2．熟练地进行对数式与指数式的互换． 1．对数的概念 如果a(a0且a≠1)的b次幂等于N，就是 ，那么数b叫做 ，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数． 2．对数的性质 (1)1的对数为 ；(2)底的对数为 ；(3)零和负数 ． 自学导引 ab＝N 以a为底N的对数 b＝logaN a N 零 1 没有对数 3．常用对数与自然对数 通常将以 为底的对数叫做常用对数，以 为底的对数叫做自然对数，log10N可简记为 ，logeN简记为 . 4．对数恒等式：alogaN＝ (a0且a≠1)． 10 lg N ln N N e 探究：在对数式x＝logaN中，为什么规定a0，a≠1，N0呢？ 答案：(1)若a0，且N为某些数值时，logaN不存在． 如(－2)x＝3没有实数解，所以log(－2)3不存在，为此，规定a不能小于0. (2)若a＝0，且N≠0时，logaN不存在；N＝0时，loga0有无数个值．为此，规定a≠0. 自主探究 (3)若a＝1，N不为1时，x不存在，如log12不存在；N为1时，x可以是任何数，是不唯一的，为此，规定a≠1.因此，规定底数a0，且a≠1. (4)由于正数的任何次幂都是正数，即ax0(a0)，故N＝ax0.如果用计算器计算真数为负数的情况，计算器会提示出错信息． 1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　) A．100＝1与lg 1＝0 　　　　　　　　　　　 C．log39＝2与32＝9 D．log55＝1与51＝5 答案：B 预习测评 2．对数式log(a－2)(5－a)＝b，实数a的取值范围是 (　　) A．(－∞，5) B．(2,5) C．(2,3)∪(3,5) D．(2，＋∞) 答案：C 答案：－4 1．对数的概念 一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数． 因为对任何实数a(a0，a≠1)，指数函数y＝ax，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以对任何正整数N，logaN是存在的，并且由于指数是单调函数，所以logaN是唯一的． 要点阐释 2．对数logaN(a0，且a≠1)的性质 (1)负数与零没有对数，即N0. (2)1的对数为零，即loga1＝0. (3)底的对数等于1，即logaa＝1. (4)对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a0，且a≠1)，据此可得两个常用恒等式：①logaab＝b；②alogaN＝N. 考点一：对数式与指数式的互化 【例1】 将下列对数形式转化为指数形式或将指数形式转化为对数形式： 点拨：利用ax＝N?x＝logaN进行互化． 典例剖析 解：(1)∵54＝625， ∴log5625＝4. (4)∵log101 000＝3，∴103＝1 000. 点评：指数和对数运算是一对互逆运算，在解题过程中，互相转化是解决相关问题的重要途径．在利用ax＝N?x＝logaN进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置． 1．求下列各式中的x. 考点二：对数基本性质的应用 【例2】 求下列各式中的x的值． (1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1； 点拨：利用对数的基本性质求解． 解：(1)∵log2(log5x)＝0； ∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5； (2)∵log3(lg x)＝1， ∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000； 点评：有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算． 2．已知log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0 求x＋y的值． 解：∵log2(log3(log4x))＝0， ∴log3(log4x)＝1， ∴log4x＝3，∴x＝43＝64， 同理可得y＝24＝16，∴x＋y＝80. 考点三：对数恒等式的应用 【例3】 求 的值(a，b，c∈R＋，且不等于1，N0)． 点拨：重复使用对数恒等式，即可得解． 点评：对数恒等式alogaN＝N中要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为真数． 误