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3.4 对 数(一)课件(北师大版必修一).ppt
课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升 §4 对 数(一) 1.理解对数的概念. 2.熟练地进行对数式与指数式的互换. 1.对数的概念 如果a(a0且a≠1)的b次幂等于N,就是 ,那么数b叫做 ,记作 ,其中 叫做对数的底数, 叫做真数. 2.对数的性质 (1)1的对数为 ;(2)底的对数为 ;(3)零和负数 . 自学导引 ab=N 以a为底N的对数 b=logaN a N 零 1 没有对数 3.常用对数与自然对数 通常将以 为底的对数叫做常用对数,以 为底的对数叫做自然对数,log10N可简记为 ,logeN简记为 . 4.对数恒等式:alogaN= (a0且a≠1). 10 lg N ln N N e 探究:在对数式x=logaN中,为什么规定a0,a≠1,N0呢? 答案:(1)若a0,且N为某些数值时,logaN不存在. 如(-2)x=3没有实数解,所以log(-2)3不存在,为此,规定a不能小于0. (2)若a=0,且N≠0时,logaN不存在;N=0时,loga0有无数个值.为此,规定a≠0. 自主探究 (3)若a=1,N不为1时,x不存在,如log12不存在;N为1时,x可以是任何数,是不唯一的,为此,规定a≠1.因此,规定底数a0,且a≠1. (4)由于正数的任何次幂都是正数,即ax0(a0),故N=ax0.如果用计算器计算真数为负数的情况,计算器会提示出错信息. 1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A.100=1与lg 1=0 C.log39=2与32=9 D.log55=1与51=5 答案:B 预习测评 2.对数式log(a-2)(5-a)=b,实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,5) B.(2,5) C.(2,3)∪(3,5) D.(2,+∞) 答案:C 答案:-4 1.对数的概念 一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b叫作以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫作对数的底数,N叫作真数. 因为对任何实数a(a0,a≠1),指数函数y=ax,x∈R的值域是(0,+∞),所以对任何正整数N,logaN是存在的,并且由于指数是单调函数,所以logaN是唯一的. 要点阐释 2.对数logaN(a0,且a≠1)的性质 (1)负数与零没有对数,即N0. (2)1的对数为零,即loga1=0. (3)底的对数等于1,即logaa=1. (4)对数概念与指数概念有关,指数式和对数式是互逆的,即ab=N?logaN=b(a0,且a≠1),据此可得两个常用恒等式:①logaab=b;②alogaN=N. 考点一:对数式与指数式的互化 【例1】 将下列对数形式转化为指数形式或将指数形式转化为对数形式: 点拨:利用ax=N?x=logaN进行互化. 典例剖析 解:(1)∵54=625, ∴log5625=4. (4)∵log101 000=3,∴103=1 000. 点评:指数和对数运算是一对互逆运算,在解题过程中,互相转化是解决相关问题的重要途径.在利用ax=N?x=logaN进行互化时,要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置. 1.求下列各式中的x. 考点二:对数基本性质的应用 【例2】 求下列各式中的x的值. (1)log2(log5x)=0;(2)log3(lg x)=1; 点拨:利用对数的基本性质求解. 解:(1)∵log2(log5x)=0; ∴log5x=20=1,∴x=51=5; (2)∵log3(lg x)=1, ∴lg x=31=3,∴x=103=1 000; 点评:有关“底数”和“1”的对数,可利用对数的性质求出其值“1”和“0”,化成常数,有利于化简和计算. 2.已知log2(log3(log4x))=log3(log4(log2y))=0 求x+y的值. 解:∵log2(log3(log4x))=0, ∴log3(log4x)=1, ∴log4x=3,∴x=43=64, 同理可得y=24=16,∴x+y=80. 考点三:对数恒等式的应用 【例3】 求 的值(a,b,c∈R+,且不等于1,N0). 点拨:重复使用对数恒等式,即可得解. 点评:对数恒等式alogaN=N中要注意格式:(1)它们是同底的;(2)指数中含有对数形式;(3)其值为真数. 误
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