4.1 函数的极值 课件（北师大选修1-1）.ppt

1.2　函数的极值 1.理解函数极值的概念． 2.掌握利用导数求函数极值的方法． 3.体会数形结合思想的应用. 1.求解函数的极大值点、极小值点、极大值与极小值．(重点) 2.常用函数的单调性、图像等综合考查．(难点) 3.常以选择或解答题的方式进行有关极值的正向或逆向问题的考查．(易混点) 1．在某个区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的 条件，而不是 条件． 2．利用导数求函数单调性的步骤： (1)确定f(x)的定义域； (2)求出f′(x)＝0的实根； (3)确定各区间上的f′(x)的符号； (4)写出其单调区间． 1．函数的极大值与极小值 (1)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是 的，在区间(x0，b)上是 的，则 是极大值点， 是极大值． (2)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是 的，在区间(x0，b)上是 的，则 是极小值点， 是极小值． 2．极大值与极小值的表格表示 (1)极大值 (2)极小值 1．函数f(x)＝x3－3x2＋7的极大值是(　　) A．－7　　　　　　　　 B．7 C．3 D．－3 解析：　f′(x)＝3x2－6x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，在x＝0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，∴f(0)＝7为函数的极大值． 答案：　B 2．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为(　　) A．1，－3 B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3 解析：　f′(x)＝3ax2＋b，f′(1)＝3a＋b＝0，a＋b＝－2， 解得a＝1，b＝－3. 答案：　A 3．函数y＝x3－6x的极大值为________，极小值为________． 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 由表可知，函数f(x)在区间(－∞，－2)及(0，＋∞)上分别为增函数，在区间(－2，－1)与(－1,0)上分别为减函数．函数在x＝－2时有极大值－3；在x＝0时有极小值1. 设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a、b、c，并求其极值． 此题属于逆向思维，仍可根据求函数极值的步骤来求，但要注意极值点与导数之间的关系：极值点为f′(x)＝0的根．利用这一关系，来用待定系数法求a、b、c. 2.已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在点x＝1处的极小值为－1，试确定a，b的值，并求f(x)的单调区间． 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围． 3.(2009年陕西)已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a0. (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围． (2)∵f(x)在x＝－1处取得极值． ∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0.∴a＝1. ∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3. 由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1， 由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3. ∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点， 又f(－3)＝－19－3，f(3)＝171， 结合f(x)的单调性可知m的取值范围是(－3,1)． 1．极值点的意义 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值． 2．几点说明 (1)极值是一个局部概念．由定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． (2)函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个． (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值．如图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)f(x1)． (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． 1．导数与极值的关系 对于函数f(x)的导数f′(x)，令f′(x)＝0，得值x0. (1)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极大值． (2)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极小值． 2．求可导函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)求方程f′(x)＝0的全部实根； (4)检查f′(x)在f′(x)＝0的根左、右两侧值的