4.1.2 定积分 课件(北师大版选修2-2).pptVIP

* * ＊ 曲边梯形的定义： 分割区间 过剩估计值 不足估计值 逼近所求面积 ＊ 求曲边梯形面积的步骤： 我们把由直线 x = a，x = b (a ≠ b)， y = 0和曲 线 y = f (x) 所围成的图形叫做曲边梯形。 前面一节课，我们主要学习了用 “以直代曲” 的 逼近方法讨论了定积分的计算思想，即：如何估计 “曲边梯形”面积。那么，什么叫做定积分？它代表 什么意义？这些就是今天要讨论学习的内容。 引入 一般地，给定在区间[a, b]的函数y = f (x)，将区 间[a, b]分成 n 份，分点为： 第 i 个小区间为 ，设其长度为 ，在这 个小区间上取一点 ，使 在区间 上的 值最大，设 再取一点 ，使 在 的值最小，设 若每次分割后，最大的小区间的长度趋于 0 ，S 与 s 的差也趋于 0 ，此时，S 与 s 同时趋于某个固定的常 数 A，则称 A 是函数y = f (x)在区间[a，b]上的定积分， 记作 即 积分号 积分下限 积分上限 f (x) 被积函数 a b x 积分变量 当 f (x)≥0时， 表示的是 y= f (x)与 x=a， x=b 和 x 轴所围曲边梯形的面积；当 f (x)表示速度 关于时间 x 的函数时， 表示的是运动物体从 x=a 到 x=b 时所走的路程。 定积分的意义： 由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质： 性质1 性质2 性质3 性质4 例1 说明下列定积分所表示的意义，并根据其 意义求出定积分的值： 解析 例2 求定积分： (2) (1) 解析 说明下列定积分的意义，并求出定积分的值。 表示三角形的面积，为8。 表示长方形的面积，为1。 表示长方形的面积，为2。 × f (x) ≤ 0 时，积分表示面积的相反数！ -2 x y o -2 先利用定义求此积分，再观察它与被积 函数为 2 时的定积分的关系。 动手做一做 例题2 1. 求定积分： 2. 用图像表示定积分： 动手做一做 积分变量 积分下限 积分上限 f (x) 被积函数 a b 性质1 性质2 性质3 性质4 ＊ 定积分： ＊ 定积分的性质： 可表示面积和路程。 小结 x 结束 我们知道，当 f (x) ≥0 时， 表示的是曲 边梯形的面积。 关键在于找出曲边梯形是由哪些直线和曲线所围 成的平面图形。 积分下限 a 积分上限 b f (x) 被积函数 代表着围曲面梯形的各函数。 解答 分析： x o y y=2 1 1 2 （1） 表示直线 y=2 与 x=0 、x=1 及 x 轴所围 成的图形的面积，即长方形的面积。 容易知道，长方形的面积是2，所以 x o y 1 2 （2） 表示由___________________及 x 轴所围 成的图形的面积，即_______的面积。 直线 y=x、x=1、x=2 梯形 容易知道，梯形的面积是 ，所以 解： 由图可知， 表示的是单位圆在 x 轴上 方的半圆。 y x o 1 -1 1 所以 表示由_________________及 x 轴所围成的图形的面积，即_______________的面 积。 半径为1的半圆 曲线 由于半径为1的半圆面积为 ，所以 练习