4.1函数与方程课件（北师大版必修一）.ppt

诸葛亮与二分法 二分法是数学里非常经典的方法，不管是初等数学，高等数学，计算数学，几乎都有它的影子，学了计算机的同学就更不会陌生．虽然二分法的数学理论最初起源于16世纪，不过其思想萌芽却是早已有之．《道德经》里的“无中生有，一生二，二生三，三生万物”就是一种二分思想． 相传诸葛亮一日与众将士闲聊．向他们出了这样一道题：你从1～1 024中任意选择一个数字，然后我问你十个问题，而你只能选择回答“是”与“不是”，就一定可以猜出你选的数字是什么．一位将士选好数字后，诸葛亮开始问：“你选的数字是否大于512？”“不是”；“是否大于256？”……如此问了十个问题以后，诸葛亮说：你选的数字一定是1！众将士当然是惊奇不已．这方法其实很简单，他每次将1024个数字分半，这样分了10次以后，就将每一个数字分完(因为210＝1024)，所以任何一个数字都能用这种方法确定，比如数字51： 是否大于512？不是；是否大于256？不是；是否大于128？不是；是否大于64？不是；是否大于32？是；(数字一定是在64和32之间)是否大于48？是；(数字一定是在64和48之间)是否大于56？不是；(数字一定是在56和48之间)是否大于52？不是；(数字一定是在52和48之间)是否大于50？是；(数字一定是在52和50之间) 那你猜的数字一定是51了(符合条件的数字只有51). 二次函数是我们很熟悉的一类函数，以前我们曾研究过其图像与性质，请大家画几个函数的图像(画草图即可)：(1)y＝x2－2x－3；(2)y＝x2－2x＋1；(3)y＝x2－2x＋3.画完以后，请说出你能知道的知识．如果我们把二次函数与其相关的方程：x2－2x－3＝0，x2－2x＋1＝0，x2－2x＋3＝0放在一起观察，又会有什么发现呢？你能再找几个函数与相应的方程看看我们的想法是否正确吗？ 1.函数的零点 我们把函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的________称为这个函数的零点． 2．零点存在定理 一般地，如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且有___________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即至少存在一个c∈(a，b)，使得f(c)＝________.这个c就是方程f(x)＝0的解． 3．函数零点的性质 对于图像是连续不间断的函数，其函数零点具有下列性质： (1)当函数图像通过零点(不是二重零点)时，其函数值的符号________．(填“改变”或“不改变”) (2)在相邻的两个零点之间所有的函数值保持________．(填“同号”或“异号”) 4．二分法 每次取区间的中点，将区间_________，再经比较，按需要留下其中一个________的方法称为二分法． 2．函数f(x)＝lnx－1的零点所在的大致区间为(　　) A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5) [答案]　B [解析]　因为在给出的区间中，只有f(2)·f(3)0，而在其余区间两个端点处的函数值均同号． 3．下列函数中能用二分法求零点的是(　　) [答案]　C [解析]　从图像上看，A的函数无零点；B、D中的函数都是不变号零点，不能运用二分法．故选C. 4．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点2.5，那么下一个有根区间是__________． [答案]　[2,2.5] [解析]　由计算器可算得f(2)＝－1，f(3)＝16，f(2.5)＝5.625，f(2)·f(2.5)0，所以下一个有根区间是[2,2.5]． 5．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a、b的关系是__________． [答案]　a2－4b＝0 [解析]　二次函数有零点，但不能用二分法求出，则有Δ＝a2－4×1×b＝0，即a2－4b＝0. [规律总结]　1.函数零点的求法：解方程f(x)＝0，所得实数解就是f(x)的零点．解三次以上的高次方程时，一般需要因式分解． 2．对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图像联系起来，图像与x轴交点的横坐标即为函数的零点． 已知函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，求g(x)＝bx2－ax的零点． [思路分析]　先由f(x)的零点求a，b的关系，再求g(x)的零点． [规律总结]　(1)函数y＝f(x)的零点就是对应方程f(x)＝0的根． (2)二次函数的零点与一元二次方程的实根的关系如下表： 若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________． 判断函数f(x)＝x－3＋lnx的零点的个数． [思路分析]　构造函数y＝lnx和函数y＝－x＋3，从而将原问