双曲线的简单几何性质.ppt

例2、 O B M A x y 解： * 例1答案 * 作业及练习 例3. (’04重庆)已知双曲线　　　　　　　　　的左右焦点分别为F1,F2, 点P在双曲线的右支上, 且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率的最大值为（　） A. B. C.2 D. B y o x F1 P F2 |PF1|=a+ex0, |PF2|=ex0-a, a+ex0=4(ex0- a) 总结 1、双曲线的第一定义与第二定义是等价的，可以互相推出，双曲线的离心率是焦距与实轴长的比，双曲线上的点到焦点 的距离与这点到相应准线的距离的比也是离心率。这也是双曲线的一个几何性质； 2、求双曲线方程要根据具体条件具体对待，确定焦点 的位置很重要的； 3、把双曲线的性质分焦点在x轴上和焦点在y轴上进行归纳总结； 5、注意等轴双曲线和共轭双曲线的概念、特征、性质。 4、注意双曲线的性质与椭圆的性质的比较； 直线和双曲线的位置关系 直线与双曲线位置关系(从“形”角度研究) ㈠ 相交 ㈡相切 ㈢相离 ⑴有两个公共点 ⑵有一个公共点 只有一个公共点 没有公共点 ①在同一支 ②分别在两支 直线与渐近线平行 注意：直线与双曲线只有一个公共点，情况有两种，与椭圆不同。 位置关系与交点个数 X Y O X Y O 相离:0个交点 相交:一个交点 相交:两个交点 相切:一个交点 (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。 重合：无交点；平行：有一个交点。 2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程, Δ0 直线与双曲线相交（两个交点） Δ=0 直线与双曲线相切 Δ0 直线与双曲线相离 ②相切一点: △=0 ③相 离: △＜0 直线与双曲线的位置关系: ①相交两点: △＞0 同侧： ＞0 异侧: ＜0 一点: 直线与渐近线平行 特别注意： 直线与双曲线的位置关系中： 一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支 练习：求下列直线与双曲线的交点坐标 1、 2、 3、 4、 无解 例1 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求 k的取值范围。 即此方程无解。 引申：（1）如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共 点，求k的取值范围。 直线与双曲线位置关系(从“数”角度研究) 问: k≠±1有何几何意义？ （2）如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支有两个公共 点，求k的取值范围。 此时等价于（1）式方程有两个不等的正根，则 左支 两支都有 实际上，△0可省略，为什么？ 引申：（3）如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4只有一个公 共点，求k的值。 即此方程只有一解 直线与双曲线只有一个公共点有两种情况： ①直线平行渐近线 ②直线与双曲线相切 注意：极易疏忽! 解题回顾： 根据直线与已知双曲线公共点的个数，求直线斜率k的取值范围问题的方法： 有两个或没有公共点时，根据双曲线联立 后的一元二次方程的判别式或根的分布来判断。 1、 有一个公共点时，考虑一元二次方程的二次项系数为零和判别式等于零两种情况。 2、 利用数形结合，求出渐近线和切线斜率，利用图形观察直线变化时与曲线交点的情况确定k的取值范围。 练习1、 若过双曲线3x2-y2=3的右焦点F2，作直线l 与双曲线的两支都相交，则直线l 的倾斜角α的取值范围是＿＿＿。 x y O F2 变式：在上题中，若l 与双曲线在第一象限内有交点，则l 的斜率的取值范围是＿＿＿＿ 数形结合，可以快捷解题。 2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点 (异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是_________ 3.过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的 取值范围是 例2 直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点，当 k为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点。 因为直线与双曲线交于A、B两点 设A（x1，y1），B（x2，y2），则 而以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0 过点P(1,1)与双曲线 只有 共有_______条. 变题: