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2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 第一课 第一课 第一课 1.1 矢量代数 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 1、直角坐标系 2、圆柱面坐标系 4、坐标单位矢量之间的关系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流和旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理 过点M 作一微小曲面?S，它的边界曲线记为C，曲面的法线 方向n与曲线的绕向成右手螺旋法则。当?S?0时，极限 称为矢量场在点M 处沿方向n的环流面密度。 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的 宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢 量场的旋度。 特点：其值与点M 处的方向n有关。 2、矢量场的旋度（ ） （1）环流面密度 而 推导 的示意图如图所示。 o y Dz Dy C M z x 1 2 3 4 计算 的示意图 直角坐标系中 、 、 的表达式 于是 同理可得 故得 概念：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流面 密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法 线方向，即 物理意义：旋涡源密度矢量。 性质： （2）矢量场的旋度 旋度的计算公式: 直角坐标系 圆柱面坐标系 球面坐标系 旋度的有关公式： 矢量场的旋度 的散度恒为零 标量场的梯度 的旋度恒为零 3、Stokes定理 Stokes定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。 曲面的剖分 方向相反大小相等结果抵消 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即 4、散度和旋度的区别 1、矢量场的源 散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度； 旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。 2、矢量场按源的分类 （1）无旋场 性质： ，线积分与路径无关，是保守场。 仅有散度源而无旋度源的矢量场， 无旋场可以用标量场的梯度表示为 例如：静电场 （2）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场，即 性质： 无散场可以表示为另一个矢量场的旋度 例如，恒定磁场 （3）无旋、无散场 （源在所讨论的区域之外） （4）有散、有旋场 这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分 无旋场部分 无散场部分 1、拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算 概念： —— 拉普拉斯算符 直角坐标系 计算公式： 圆柱坐标系 球坐标系 第1章 矢量分析 电磁场与电磁波 本章内容 1.1 矢量代数 1.2 常用正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流和旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理 1. 标量和矢量 矢量的大小或模： 矢量的单位矢量： 标量：一个只用大小描述的物理量。 矢量的代数表示： 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意：单位矢量不一定是常矢量。 矢量的几何表示 常矢量：大小和方向均不变的矢量。 矢量用坐标分量表示 z x y （1）矢量的加减法 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。 矢量的加减符合交换律和结合律 2. 矢量的代数运算 矢量的加法 矢量的减法 在直角坐标系中两矢量的加法和减法： 结合律 交换律 （2）标量乘矢量 （3）矢量的标积（点积） ——矢量的标积符合交换律 q 矢量 与 的夹角 （4）矢量的矢积（叉积） q sin AB q 矢量 与 的叉积 用坐标分量表示为 写成行列式形式为 若 ，则 若 ，则 （5）矢量的混合运算 —— 分配律 —— 分配律 —— 标量三重积 —— 矢量三重积 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来