第三章矢量和场论2011-03-15.ppt

柱坐标系中： 球坐标系中： 正交曲线坐标系中： 直角坐标系中： 常用坐标系中，散度的计算公式 在圆柱坐标系中： 在球坐标系中： 在广义正交曲线坐标系中： 拉普拉斯算子 在直角坐标系中： 重要的场论公式 1. 两个零恒等式 任何标量场梯度的旋度恒为零。 任何矢量场的旋度的散度恒为零。 常用的矢量恒等式 电源和电场 电源和电场 基本关系 单极场 偶极场 基本数学关系 在生物电学中探讨有关电源及其产生的电位和电流场间的基本数学关系，是极有意义的。在讨论处于导电介质中的电源时首先要考虑这些关系。 一般我们已熟悉在低频电路中采用无损耗的导线把离散的(集中参数)元件连接起来。不过，在实际的生物体中是充满着电位和电流连续体，而电位和电流是位置的连续函数。 电位，电场，电流 两点之间的标量电位差可以用一个理想的电压表测定。 场强E可以由标量电位Φ的负梯度求得 按欧姆定律，电流密度J与场强E 之间的关系 J = σE 式中σ为电流流过导电介质的电导率。这里假设σ为一标量，则由该式表明J 与E 同一方向。 电位，电场，电流 设电源密度为Iv(x，y，z) 散度作为由每单位体积流出量的一种度量等价于电源密度。 一个任意的区域，有这几种可能：其一是根本没有电流，这时方程的两边均为零；其二是有电流流动，但是在该区域的流出量与流入量相等，使得方程两边仍为零；第三种情况是某些电流起源于该区域内并有净流出量，这时方程的两边均为正值；第四种情况是有净电流流入该区域，则式两边为负值。在实际研究生物标本时，后两者是经常遇到的情况。这是由于人们把细胞内电流(细胞之中的电流)和细胞外电流分开研究，因此当电流穿过细胞膜时，看上去似乎电流出现或消失了。 泊松方程 导出直接将电位与产生它的电流源和阱间联系起来的表达式。 对于一个电导率均匀，但包含源密度Iv的区域，得出对于Φ的泊松方程： 泊松方程 泊松方程的一个重要特殊情况是各处源密度均为零。对这种无源的均一导电区域，电流守恒要求 泊松方程中电位的解 式中r为源或阱Iv，到观察位点的距离 拉普拉斯方程 单极场 单极是单个极，在电流场的意义下，也就是导电介质中的单一电流源或阱。 在生物电学中只涉及单极的问题十分罕见，因为所有的生物电源至少包括了源和阱组合。尽管如此，但由于单极是较复杂又较实际的构型的组成基元，故研究单极的电位与电流场间的关系还是相当重要的。况且对于人造源，在有限区域内可得到真正的单极场。 单极场 设想某点流源(单极)置于电导率为σ且无限大的均一导电介质中。设其位置如图所示为(x，y，z)，由于均一性，电流取径向，穿过任意半径球面的总电流必定为I0；因此电流密度J就等于I0除以半径为r的球面积，即 偶极场 “偶极”是由相互靠得很紧的电流源和阱组合成的。 很多生物电源的最简单表达形式就是偶极子。 例如电流可从细胞膜的某一点流出，而在靠近的另一点流回。 因此我们将从两方面对偶极子的电性质进行研究，即既作为技术上的例子说明单极基元是怎样组成较复杂的源的；又作为对某种与生物医学问题直接有用的特殊源。 偶极场 假如我们在坐标的原点放置强度为I0的点源及强度为 －I0的点源。此两源互相抵消，导致电位场为零。 现在如果移动源I0一个小距离d，则就不会完全抵消。在这种情况下，确切地说，总电场就是由I0移动d后所引起的电场变化。所以， Φ = [?(I0/4πσr)/?d]d 偶极场 偶极子 两个大小相等、极性相反且距离很近的点电源的场称为偶极场。 偶极子必须是d 0，I0 ∞，I0d=p有限且为常数 第二章 矢量分析和场论 矢量分析 电源和电场 矢量分析 矢量和标量 矢量代数 标量场的梯度 矢量场的散度 拉普拉斯算子 矢量恒等式 矢量和标量 1.标量：只有大小，没有方向的物理量。 矢量表示为： 所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。 其中： 为矢量的模，表示该矢量的大小。 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。 2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。 如:力 、速度 、电场 等 如：温度 T、长度 L 等 例：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？ 图示法： 力的图示法： 矢量代数 1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。 a.满足交换律： b.满足结合律： 三个方向的单位矢量用 表示。 根据矢量加法运算： 所以： 在直角坐标系下的矢量表示: 其中： 矢量： ?模的计算： ?单位矢量： ?方向角与方向余弦： 在直角坐标系中三个矢量加法运算： 2.减法：换成加法运算 逆矢