矩阵分析第3章课件.ppt

矩阵分析 72学时 考试 姓名：杨尚俊 电话：５１０７８１７ E-mail地址： sjyang1937@ 前 言 开设《矩阵分析》的必要性 数学的重要性 理工科研究生数学能力培养的重要性 矩阵分析在信息,计算等领域的特殊重要性 2. 关于教材与教学内容 讲授3,4,5,6,8章;重点是3,8章 3. 关于教学方面 以提高数学思维与分析能力为主,而不以考试过关为目的 在理解和掌握数学思维,表述,分析和解决问题的系统方法与技巧方面严格要求,狠下功夫 提倡刻苦钻研,要求认真做作业,建议预习 数学的重要性 ① 新世纪国家间的竞争主要是经济竞争。但归根结底是人才的竞争。人才培养的关键是素质教育。素质教育包括修养、品质、知识、技能等各个方面。数学教育在素质教育中占据重要地位。 ② 当今社会正日益数学化，数学是高科技的基础。 数学在素质教育中的重要地位 数学授人以能力,数学训练能使人变聪明. 数学除了锻炼敏锐的理解力,发现真理以外,它还有一个训练全面周密科学系统的头脑开发功能. 数学的思维方式有着根本的重要性,简言之,数学为组织知识提供方法.一旦数学用于技术,它就能产生系统的,可再现的并能传授的知识.分析,设计,建模,模拟和应用便会变成可能的高效的富有结构的活动. 数学是高科技的基础 社会进步依赖于科学的创新而数学对于科学的发展则具有根本的意义。在今天，数学已成为高科技的基础，并且在一定意义上，可以说是现代文明的标志。(2002年北京国际数学家大会欢迎词摘录) 各行各业日益依赖于数学，可以说，当今社会正日益数学化。数学正在向一切领域渗透，数学正在不断与别的学科结合产生活跃的新兴学科。高科技本质上是一种数学技术。 数学在工程技术以及国民生产中发挥愈来愈重要的作用甚至是决定性的作用。 线性空间的公理化定义 非空集合V称为数域F上的线性空间,如果V上 定义了加法和数乘运算:(page 3) ??,??V,?+??V; ?k?F,??V,k?=?k?V 并满足下列公理:对于??,?,??V,?k,h?F成立 ①(交换) ?+?=?+? ②(结合) ?+(?+?)=(?+?)+? ③ 存在0元0?V满足: ?+0=? ④ ???V存在负元-??V满足: ?+(-?)=0 ⑤ F乘法单位元1?F满足:???V,1?=? ⑥ k(h?)=(kh)? ⑦ (k+h)?=k?+h? ⑧ k(?+?)=k?+k? 线性空间例1 * 2维实向量集 R2={x=(x1,x2)T|x1,x2?R}. ?x,y?R2,k?R,x+y=(x1+y1,x2+y2)T,kx=(kx1,kx2)T (在解析几何中已知R2满足8条公理,故它是2维实 线性空间.它的一组基是:(1,0)T,(0,1)T.) * 将R2推广如下: n维实线性空间 Rn={x=(x1,…,xn)T|x1,…,xn?R}; n维复线性空间 Cn={x=(x1,…,xn)T|x1,…,xn?C}. (其中,R,C分别为实数,复数的集合.)运算是 x+y=(x1+y1,…,xn+yn)T,kx=(kx1,…,kxn)T 线性空间例2 * 2阶实方阵集 R2?2={A=(aij)|aij?R,1?i,j?2}. ?A,B?R2?2,k?R,A+B=(aij+bij),kA=(kaij). (不难证明R2?2满足线性空间的8条公理,故它是2?2=4维实线性空间,一组基是E11,E12,E21,E22) * 将 R2?2 推广如下: n2维实线性空间 Rn?n={A=(aij)|aij?R,1?i,j?n}; n2维复线性空间 Cn?n={A=(aij)|aij?C,1?i,j?n}; (其中,R,C分别为实数,复数的集合.) m?n 维实线性空间 Rm?n={A=(aij)|aij?R,i=1,…n,j=1,…,m}. 线性空间R2?2的一组基是:E11,E12,E21,E22 Eij?R2?2的定义是:除(i,j)元之外,所有元素都是0. 线性空间Rm?n的一组基是:{Eij?Rm?n|i=1,…m;j=1,…n} Eij?Rm?n的定义是:除(i,j)元之外,所有元素都是0. 线性空间例3 * 闭区间[a,b]上所有实连续函数集 C[a,b]={f(x)|f(x)是[a,b]上实连续函数}. ?f,g?C[a,b],k?R,(f+g)(x)=f(x)+g(x), (kf)(x)=kf(x). 不难证明C[a,b]满足线性空间的8条公理,故它是无限维实线性空间,因为它包含下列线性无关的无穷序列:1,x,x2,x3,… 第3章 内积空间,正规矩阵,Hermite矩阵 从解析几何知二平面向量 ?=(a1,a2)T,?=(b1,b2)