(课堂设计)2014-2015高中数学1.2函数及其表示学案新人教A版必修5讲述.doc

1.2　函数及其表示 【入门向导】　 “f”的自述 我是“f”，同学们对我一定都很熟悉了，别看我只是一个普通的小写英文字母，在数学王国里我的作用可大了． 在数学王国里，我代表一种对应关系，如果两个集合之间要形成一种特殊的对应——映射的话，他们就必须请我来帮忙，你瞧，“f：A→B”就是我帮忙搞定的集合A到集合B的映射． 我还是一个了不起的魔术师呢，我拿一个篮子——(　　)往里装一个实数，就可以按我所代表的对应关系变出一个新的数来，如果我代表减2，就把实数x变成x－2，即f(x)＝x－2；如果我代表先加绝对值，再加2，最后再变为相反数，那么我会把－2变为f(－2)＝－(|－2|＋2)＝－4. 我出生于英国，来自于“function”，“function”的中文意思是“函数”，所以人们经常用我来表示函数，对我的理解可从以下几方面考虑： (1)可以把我看成是一种“对应关系”，也就是一种算法的体现，这里f(x)表示的意思是对“x”施行算法“f”之后的结果．f(x)＝－x＋1就表示对“x”施行变换或算法“f”，使x变成－x＋1.但要注意，“x”不只是单独的字母、数，还可以是代数式、函数等． (2)y＝f(x)也可以看成是关于x，y的一个方程，在这里“f”变成了一个关系的模式．如f(x)＝x2－2x＋3，则y＝f(x2)可表示为y＝x4－2x2＋3，也可表示为方程x4－2x2－y＋3＝0. (3)通过我自身所表示的对应关系，把两个量或数联系起来，可以表示函数．y＝f(x)表示x的函数，x是自变量，y为函数，f表示从x到y的对应关系． (4)函数符号“y＝f(x)”是“y是x的函数”的数学表示，仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式．符号f(a)与f(x)既有区别又有联系，f(a)表示当自变量x＝a时函数f(x)的值，而f(x)是自变量x的函数．一般情况下，f(x)是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值． 同学们，我说了这么多，你是否对我又有了更深刻的了解呢？在数学王国里，我们会经常见面的，希望我们能成为好朋友． 帮你理解函数的概念 函数的定义：一般地，设A，B是非空的数集，如果按某种确定的对应关系f，使得对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数，记为y＝f(x)，x∈A.由所有的自变量x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域，由所有的函数值y组成的集合C称为函数的值域． 解析式y＝f(x)表示对于集合A中的任意一个x，在对应关系f的作用下，可得到y，因此f是使“对应”得以实现的方式和途径，是联系x与y的纽带，从而是函数的核心，f可用一个或多个解析式来表示，也可以用数表或图象等其他方式表示． “函数”概念是初中和高中阶段的重点和难点，有不少的同学直到高三都不能深刻理解这一概念．原因在于这一概念的抽象性．如果把“函数”与我们实际生活结合起来，同学们学起来就会觉得既有意义又容易理解和运用． (1)函数是个“信使” “函”字本身就有“信件”之意，每封信都是由邮递员按地址投到不同的地方，每封信上都写有确定的地址，不能含混不清．函数也是这样，每个自变量x都要按一定的对应关系与确定的y一一对应．自变量x就是“一封信”，它被对应关系这个“信使”送到确定的“收信人”——y手里． (2)函数是个“产品加工厂” 工厂里把原料按规格加工成不同的产品．函数就是把自变量x按“规格”——对应关系“加工”成不同产品——y.它也像“数字发生器”，把“原料”——自变量x投入到不同的“数字发生器”——对应关系中就会得到不同的“产物”——因变量y. (3)函数是“封建社会的婚姻” 在封建社会，流传着“好女不嫁二夫”，但“一夫可多妻”．同样函数中多个自变量x可对应一个函数y，即“一夫多妻”，但是一个“妇女”——自变量x不能找多个“婆家”——y值． 有了上面的解释，你对函数这个概念是否更加了解了呢？其实，只要我们对数学产生了兴趣，能经常和我们的生活联系在一起，就易学多了． 函数概念常见题型 函数概念主要围绕其三要素(定义域、值域、对应关系)进行考查，常见题型有以下几类： 一、判断一个x，y的关系式能否表示成y为x的函数 例1 下列各式是否表示y为x的函数？若是，写出函数的解析式． (1)xy＝－3(x≠0)； (2)x2＋y2＝1(x∈(－1,0])； (3)x3＋y3＝1. 解　要能表示成y为x的函数，则必须对于定义域内任意一个x，均有惟一的y值与之对应． (1)满足要求，可表示成y为x的函数 y＝－(x≠0)． (2)不满足，因为对于(－1,0]内任一x值，均有两个y值与之对应，因此不能表示成y为x的函数． (3)满足要求，可表示为y＝. 二、