02第二章极限与连续.ppt.ppt

第二章 极限与连续 第一节 极限的概念 第二节 极限运算法则 第三节 极限存在准则与两个重要极限 第四节 无穷小与无穷大 第五节 函数的连续性与间断点 第六节 连续函数的运算 第七节 闭区间上连续函数的性质 第八节 再论极限的概念 O y x 图2－8 二、复合函数的极限法则 对法则4作以下说明： 三、 极限不等式 第三节 极限存在准则与两个重要极限 一、夹逼准则 B D A O C 图2-5 二、单调有界收敛准则 A 图2-7 x M 第四节 无穷小与无穷大 无穷小的比较 一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小的比较 第五节 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 函数的连续性是与函数极限密切相关的一个重要概念，连续性概念的建立是进一步讨论函数的微分和积分的基础. 极限是高等数学中的一个重要概念，也是研究微积分的重要工具.极限思想、极限方法贯穿于高等数学的始终，当大家学完高等数学之后，就会深切体会到极限概念是微积分的灵魂. 本章先从几何上，以直观和形象的语言描述极限概念，然后介绍极限运算，并用极限的方法讨论无穷小及函数的连续性等. 第一节 极限的概念 一、数列的极限 数列极限是极限概念中最简单、最基本的情形，是函数极限的特例，为进一步讨论函数极限应先理解数列极限. n O 1 2 3 4 5 6 1 2 图2-1 n O 1 2 3 4 5 6 1 2 图2-2 为进一步讨论收敛数列与发散数列的性态，下面先给出有界数列和无界数列的定义，并探寻数列收敛的必要条件及数列无界与发散的关系. 二、函数的极限 图2-3 x O 2 3 4 5 6 1 1 y x 3 y o 图2-4 3 2 1 2 1 y x O 1 1 图2-5 第二节 极限运算法则 一、极限的四则运算法则 注 无穷小与无穷大的概念及其相互关系将在第四节中详细讨论,鉴于求极限运算的系统性,在这里先用，请读者预习并了解有关概念. 1. 数列的定义 在某一对应规则下，当依次取时，对应的实数排成一列数，这列数就称为数列，记为. 数列也可理解为定义域为正整数集的函数 数列中的第n个数叫做数列的第n项或一般项. 例如数列： 一般项 一般项； 一般项 一般项； 上述各数列，随n逐渐增大，它们有其各自变化趋势. 数列，当n无限增大时，一般项无限接近于0； 数列，当n无限增大时，一般项无限接近于0； 数列，当n无限增大时，也无限增大，所以不接近于任何确定的常数. 数列，当n无限增大时，当n为奇数时，，当n为偶数时，，即不接近于任何确定的常数. 从以上四个数列观察可知，的一般项的变化趋势有两种情形或无限接近于某个确定常数或不接近于任何确定的常数.为此可得数列极限的描述性定义如下： 定义1 如果数列的项数n无限增大时，一般项无限接近于某个确定的常数a，则称a是数列的极限，此时也称数列收敛于a，记作或. 如，或；或. 定义中“当n无限增大时，一般项无限接近于a”的意思是：当n充分大时，与a可以任意靠近，要多近就能有多近，也就是说，可以小于任意给的正数，只要n充分地大. 例1作图并讨论数列 的极限. 解 图形如图2-1所示（动态多点）从图中可以看到：当n无限增大时，动点在直线上、下跳动 且逐渐与直线接近，即当n无限增大时，无限接近于2，故. 例2作图并讨论数列的极限. 解 图形如2-2所示，从图中可以看到：当n无限增大时，动点逐渐地接近于直线，且随n无限增大动点与直线的距离要多么小就可达到多么小，即. 从以上两例还可以看出数列无限接近于极限值的方式是多种多样的. 例如数列的极限是从小于1逐渐增大无限接近于1.数列是从大到小无限接近于极限值1；数列是在极限值上、下跳动地无限接近于2. 例3并不是任数列都有极限. （1） 数列正负交错，当n无限增大时，不接近于任何确定的常数. （2） 数列随n无限增大其绝对值无限增大，也不接近于任何确定的常数. 对于例3中所提到的这些数列，给出下面定义. 定义2 如果数列的项数n无限增大时，它的一般项不接近于任何确定的常数，称数列没有极限，或称数列发散，记作不存在. 当n无限增大时，如果无限增大，则数列没有极限，习惯上也称数列的极限是无穷大，记作. 和都不存在，后者可记作. 定义3 对于数列，如果存在正数M，使得对于一切都满足不等式，则称数列是有界的； 如果这样的正数M不存在，就说数列是无界的. 收敛数列一定有界，取，对于一切都有不等式 成立. 发散数列也可能有界，； 无界数列一定发散； 有界数列不一定收敛，，但当n为奇数时，；当n为