1.4克拉默(Cramer)法则.ppt

中值定理与导数的应用 二、小结 * §1.4 Cramer 法则 一、Cramer 法则 二、小结 引入行列式概念时，求解二、三元线性方程组， 当系数行列式 时，方程组有惟一解， 含有n个未知数，n个方程的线性方程组，与二、 三元线性方程组类似，它的解也可以用n阶行列 式表示. 一、Cramer 法则 定理1.4.1 （Cramer法则） 如果线性方程组 的系数行列式不等于零，即 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 则线性方程组(1)有惟一解， 证明 再把 个方程依次相加，得 于是 当 时,方程组(2)有惟一的一个解 由代数余子式的性质可知, 上式中除了 的系数 等于D,其余 的系数均等于0，而等式右 端为 由于方程组(2)与方程组(1)等价,所以 也是 (1)的解. 例1 用Cramer法则解线性方程组. 解 注意: Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数 相等的情形. 理论意义：给出了解与系数的明显关系. 但用此法则求解线性方程组计算量大，不可取. 3.撇开求解公式 Cramer法则可叙述为下面定理： 定理1.4.2 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零. 线性方程组 则称此方程组为非齐次线性方程组. 此时称方程组为齐次线性方程组. 非齐次与齐次线性方程组的定义: 齐次线性方程组 易知， 一定是(3)的解， 称为零解. 若有一组不全为零的数是(3)的解，称为非零解. 有非零解. 定理1.4.3 定理1.4.4 若系数行列式 如果齐次线性方程组有非零解， 则它的系数行列式必为0. 如果齐次线性方程组的系数行列式 则齐次线性方程组没有非零解. 例2 问 取何值时， 齐次线性方程组 有非零解？ 解 由于齐次方程组有非零解，则 所以 或 时齐次方程组有非零解. 对于n元齐次线性方程组的Cramer法则的推论， 常被用来解决解析几何的问题. 例3 求空间的四个平面 相交于一点的条件. 解 四个平面相交于一点，即线性方程组 有唯一解. 从另一角度看，形式上可以把 看作是四元线性方程组 的一组非零解. 因为齐次线性方程组有非零解的充要条件是 所以，四平面相交于一点的条件为 例4 已知三次曲线 在四个点 处的值为 试求系数 解 若用Cramer法则求此方程组的解，有 （考虑范德蒙德行列式） 解 有非零解的充分必要条件 例5 问 取何值时,齐次线性方程组 有非零解? 由 得 例6 在同一直线上的三点，求过 解 设通过三点的圆的方程为 考虑齐次线性方程组 （4） 这是一组非零解，所以方程组 （4）的系数行列式等于0,即 （5） 所以它们对应的坐标不成比例， 另外，式（5）中没有xy项， 因此，式（5）就是所求的圆的方程. * *