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§克拉瑪公式 主題1：利用克拉瑪公式解三元一次方程組 1.對於三元一次方程組 令；；； (1)若；則方程組所表示的三個平面之法向量必不共平面，這三個面必有唯一的交點其中，， (2)若，則三個平面之法向量必共平面： (a)若三個法向量平行，則（三個平面可能三重合）或（二重合一平行）或 （三平行） (b)若恰有二個法向量平行，則三個平面可能（二重合與另一相交成一直線）或（二平行與另一分別交成直線） (c)若任二個法向量不平行，則三個平面可能（交於同一直線）或（兩兩交成一直線，這三直線平行） ※重要範例 1.若方程組，除(x，y，z) ( (0，0，0)外，尚有其他解，求k (　　　　　。 【解答】k ( 2或 【詳解】齊次方程組有異於(0，0，0)之解　(　△ (( 0(　3k2 ( k ( 10 ( 0　(　(k ( 2)(3k ( 5) ( 0　(　k ( 2或 隨堂練習有x ( y ( z ( 0以外的解，則k ( 　　　　　；而方程組的解為　　　　　。 【解答】2；x ( t，y ( t，z ( 3t（t(R） 【詳解】(1)原式　(　有異於(0，0，0)之解，則( 0，得k ( 2(2) k ( 2代入原式　(　表二平面重合且與另一平面交於一直線L則L：　(　L：，t(R 2.利用克拉瑪公式解方程組，則(x，y，z) ( 　　　　　。 【解答】( ( 28，29，0) 【詳解】△ ((( 4△x ((( ( 112△y (( 116　△z ((( 0　∴　(x，y，z) ( ( ( 28，29，0) 3.設x，y，z皆為非0實數，且((，則之值 ( 　　　　　。 【解答】 【詳解】令((( k，齊次方程組有非(0，0，0)之解　(　( 0，(k ( 1)(5k2 ( 5k ( 36) ( 0，k ( ( 1代入原式得x：y：z (：：( (( 9)：4：1則(( 4.設a，b(R，若方程組為相依方程組，求數對(a，b) ( 　　　　　。 【解答】(5，( 18) 【詳解】相依方程組　(　△ ( △x ( △y ( △z ( 0由△ (( 0　(　30 ( 6a ( 0，得a ( 5由△y (( 0　(　( 3b ( 54 ( 0，得b ( ( 18故數對(a，b) ( (5，( 18) 5.設a ( R，E1：ax ( y ( z ( a ( 3，E2：x + ay ( z ( ( 2，E3：x ( y ( az ( ( 2，若E1，E2，E3兩兩相交於一直線，而且三交線互相平行，則a (　　　　　。 【解答】a ( ( 2 【詳解】若三平面兩兩相交於一直線，且三交線互相平行則△ ( 0，且△x，△y，△z中至少有一個不為0令△ (　∴　a ( 1或 ( 2又△x (△y (△z ((當a ( 1時，△ ( 0，但△x ( △y ( △z ( 0，故不合(當a ( ( 2時，△ ( 0且△x ( 0，△y ( 0，△z ( 0，故a ( ( 2 隨堂練習有x ( y ( z ( 0以外的解，則k ( 　　　　　；而方程組的解為　　　　　。 【解答】2；x ( t，y ( t，z ( 3t（t(R） 【詳解】(1)原式(有異於(0，0，0)之解，則( 0，得k ( 2(2) k ( 2代入原式　(　表二平面重合且與另一平面交於一直線L則L：　(　L：，t(R 6.已知三相異平面x ( 2y ( 3z ( kx，x ( 2y ( 3z ( ky，x ( 2y ( 3z ( kz交於一線，則k ( 　　　　　。 【解答】6 【詳解】原式　(　交於一直線　(　( 0　(　(6 ( k)( 0　(　(6 ( k)( 0　(　(6 ( k)k2 ( 0得k ( 6或k ( 0（不合，因k ( 0時，三平面重合） 隨堂練習( 0　(　2k2 ( 3k ( 5 ( 0　(　k ( 1，△x (( 0　(　2k2 ( 13k ( 15 ( 0　(　k ( 1，三平面相交於一直線　(　△ ( △x ( △y ( △z ( 0，故k ( 1 7.已知三平面E1：x ( 2y ( z ( 3，E2：2x ( 5y ( 2z ( 5，E3：x ( 4y ( 7z ( a，試就實數a之值，討論三平面相交情形，若相交，求三平面的交點坐標（無限多組解時，令z ( t）。 【解答】a ( 1時，三平面交於一直線L：，t(R；a ( 1時，三平面兩兩相交於一直線，但三交線互相平行 【詳解】△ (( 0，△x (( 9 ( 9a△y (( ( 4 ( 4a，△z (( a ( 1(1)當a ( 1時，△ ( △x ( △y ( △z