西南大学附中2011—2012学年度上期期末考试.doc

西南大学附中2011—2012学年度上期期末考试 高试题一、选择题每题分，共分，，则（ ） A．B．C．D．的定义域是（ ） A． B． C． D． 函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ ） A．a 1，b 0 B．a 1，b 0 C．0 a 1，b 0 D．0 a 1，b 0 函数（）的反函数是（ ） A．（x 1） B．（） C．（x 1） D．（） 已知为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是（ ） A．（– 1，1） B．（0，1） C． D． 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（ ） A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左移个单位长度 B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右移个单位长度 C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左移个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左移个单位长度 ，，，且，则向量的夹角为（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为（ ） A． B． C． D． 函数，为增函数的区间是（ ） A． B． C． D． 设，是二次函数，若的值域是，则的值域是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题5分，共25分） _____________． 在R上定义运算“△”：x△y = x ( 2 – y )，若不等式( x + m )△x 1对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是_______________． 若在区间上为增函数，则实数a的取值范围是____________． 若，则_____________． 设O为△ABC内一点，且（k 0），，则k的值为_______________． 三、解答题（共75分） (13分) 已知．求值： ； ． (13分) 记函数的定义域为A，（a 1）的定义域为B． 求A； 若，求实数a的取值范围． (13分) 已知函数满足． 求的解析式； 设，，试求在 [ 1，3 ] 上的最小值． (12分) 已知平面上的三个单位向量，，，它们之间的夹角均为120°． 求证：； 若，求实数k的取值范围． (12分) 已知a 0，函数，当时，． 求常数a、b的值； 设且，求的单增区间． (12分) 对于在区间 [ m，n ] 上有意义的两个函数与，如果对任意，均有，则称与在 [ m，n ] 上是友好的，否则称与在 [ m，n ]是不友好的．现有两个函数与（a 0且），给定区间． 若与在给定区间上都有意义，求a的取值范围； 讨论与在给定区间上是否友好． （命题人：涂登熬 审题人：周 静） 西南大学附中2011—2012学年度上期期末考试 高试题 12．（– 4，0） 13． 14． 15．8 三、解答题 16．解：(1) ∵，∴ ∴ 又∵，∴ (2) 17．解：(1) ∴ (2) 由 ∵a 1，∴，∴B =（2a，a + 1） ∵，∴或，即或 而a 1，∴或 ∴a的范围为 18．解：(1) ∵令，则 于是 ∴ (2) ①当时，即时， ②当时，即时， ③当时，即时， 综上， 19．(1) 证：∵，且夹角均为120° ∴ ∴ ∴ (2) 解：由，平方得（※） ∵， 故（※）式即为，即 ∴k 0或k 2 20．解：(1) ∵，∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ (2) 由(1)知， ∴ 又由 ∴ 其中，单增时，有，即 ∴增区间为 21．解：(1) 由题， 又在上有意义 ∴ (2) 在上是友好的 对任意的恒成立 现设， 由(1)问知，的对称轴，在区间的左边 ∴ ∴当时，在上是友好的 当时，在上是不友好的 1 O x y