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两条直线的平行与垂直(3.1.2).doc
两条直线的平行与垂直(3.1.2)
教学目标
(一)知识教学
理解并掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判两直线是否平行或垂直(二)能力训练
通过究两直线平行或垂直的条件,培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及数形结合能力.
()学科渗透
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究,培养学生的成功意识,激发学生学习兴趣.
难点:启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题.
注意:对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题.
教学过程
(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直
上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们研究通过两直线的来判断两直线的平行垂直.
两条直线中有一条直线没有斜率(1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为90°,它们互相平行;(2)当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直.
(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直
设直线1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两直线的平行垂直是由两直线的方向决定的两直线的方向又是由直线的倾斜角斜率决定所以我们下面要的问题是两平行垂直的直线它们的斜率有什么首先研究两条直线平行()的情形.如果L1∥L2(图1-29),那么它们的倾斜角相等:α1=α2.(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系)
∴tgα1=tgα2.
即 k1=k2
反过来,如果两条直线的斜率相等k1=k2,那么tgα1=tgα2.
由于01<180°, 0180°,
∴α1=α2.
又∵两直线不重合,
1∥L2.
结论: 两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,它们平行,即
注意上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不立.即如果研究两条直线垂直的情形.
如果1⊥L2,这时α1≠α2,否则两直线平行.
设α21(图1-30),甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方;乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方;丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上,无论哪种情况下都有
α1=90°+α2.
因为1、L2的斜率分别是k1、k2,即α1≠90°,所以α2≠0°.
,
可以推出 1=90°+α2. L1⊥L2.
结论: 两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,它们互相垂直,即
, 让学生通过度量, 感知k1, k2的关系, 并使L1(或L2)转动起来, 但仍保持L1⊥L2, 观察k1, k2的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α1为锐角,钝角等).
例题
例1
分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)
解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,
直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,
因为 k1=k2=0.5, 所以 直线BA∥PQ.
例2ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证)
解同上.
已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.
解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,
直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2,
因为 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.
例4 A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.
分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略)
课堂练习
P94 练习 1. 2.
课后小结
(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件;(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.
(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.
布置作业板书设计
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