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§3.3 平衡原理 与机理模型 §3.3 平衡原理与机理模型 一. 平衡原理 自然界任何物质在其运动变化过程中一定受到某种平衡关系的支配。 二. 机理模型 在一定的假设下，根据主要因素相互作用的机理，对它们之间的平衡关系的数学描述。 关于假设 是对实际问题的抽象、化简和规范 是组建数学模型的基础和前提。 假设较强，模型简单易分析和操作 但与实际差距大。 假设较弱，模型比较接近实际。 但模型复杂不易操作。 关于平衡关系 1.平衡关系是数学模型的核心，建模的关键。 2.有些平衡关系是明显的。 有些平衡关系隐藏在问题的背后 需要在化简之后逐渐明确出来。 3.有些平衡关系本身就直接构成了模型。 有些平衡关系还需要经过数学上 的加工整理才能得到理想的模型。 平衡原理与机理模型 三. 模型举例 例1. 人口的自然增长. 建模描述一个地区内人口的自然增殖的过程。 即考虑由于人口的生育和死亡所引起的人群数量变化的过程。 令N(t)表示t时刻的人口数。 假设1. 人群个体同质。 N(t) 连续可微. 假设2. 群体规模大。 平衡关系：人口数在区间[t，t+?t]内的改变量等于这段时间内出生的个体数与死亡的个体数之差。 假设3. 群体封闭，只考虑生育和死亡对人口的影响。 平衡原理与机理模型 令B(t, Δt, N), D(t, Δt, N) 分别表示生育数和死亡数, 则有 平衡原理与机理模型 由于R(t,Δt,N)|?t=0=0，将R(t,Δ t,N) 关于Δt展开 在离散时间点k=0, 1, 2, …, 上有 N(k+1) = erN(k) = ?N(k) Marthus 模型 “若我的两个假设是成立的,那么,我认为人口繁殖的能量是无限地大于自然界为人类提供资料的能量的。 人口如果不受控制，它会以几何比率增长。而生活资料只能以算术比率增长。”《论人口原理》(1798年) 平衡原理与机理模型 假设1. 人群个体同质。 假设2. 群体规模大。 假设3. 群体封闭，只考虑生育和死亡对人口的影响。 假设4. 从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。（生育率和死亡率） 假设5. 群体增长恒定。 假设6. 个体增长独立。 模型的讨论 1. 作为人口自然增长，模型与实际是不同的。许多国家、地区人口增长不符合这个模型。 2. 只考虑增长和衰减时，模型是正确的。 3. 模型是可以改进的。 Logistic 模型 1. 模型: 在有限的资源内生物种群不可能无限增长. 存在有饱和水平, 种群增加接近饱和水平时增长速度减慢而趋于零. 假设 60 需要修改: r = r(N), r’(N)0 且存在K, r(K) = 0 . 假设: r为 N的线性减函数, 有零点 K . 则有r(N) = r (1 – N / K) 模型: N’ = r (1 – N / K) N – logistic 模型 2. 分析 N’ = r ( 1 – N / K ) N 10. 模型的参数: N K, N’ 0; N = K, N’ = 0; N K, N’0. K : 环境承载力或饱和水平. K→ ∞ 时，模型退化为 Malthus 模型， r ：内禀增长率 20. 模型的解：分离变量法 30. 模型的动态特征 平衡解：模型不依赖于时间的解 N0*=0，N1*=K。 平衡解的稳定性： 平衡原理与机理模型 例2 池水含盐 池中有一定体积的盐水， 从池的上部向池中注入一定浓度的盐水。 混合后的盐水将从池的下部流出。 建模描述池中盐水浓度的动态。 假设： 1. 盐水注入池中后迅速混合 2. 池中盐水浓度均匀。 平衡关系 在时间段[t+Δt]内, 池中盐水体积的改变量等于这段时间内流入盐水的体积与流出盐水体积之差； 在时间段[t+Δt]内, 池中(纯)盐的改变量等于这段时间内流入的(纯)盐的量与流出的(纯)盐的量之差。 变量、参量： 池中盐水体积 V(t), 池中盐水浓度 p(t); 流入盐水速度 rI(t), 流入盐水浓度 pI(t); 流出盐水速度rO(t), 流出盐水浓度 p(t). 平衡原理与机理模型 数学建模 池中盐水的改变量 V(t+Δt)-V(t) 流入盐水量 流出盐水量 池中盐的改变量 p(t+ Δ t)V(t+ Δ t)-p(t