几何画板迭代全解-中国移动139邮箱.docVIP

借助几何画板迭代功能探索数学美 关键词：几何画板；迭代功能；谢尔宾斯基三角形；谢尔宾斯基地毯；柯赫曲线；柯赫雪花曲线 古希腊数学家普洛克拉斯说过，哪里有数学，哪里就有美，如构建新颖优美，线条自然流畅，意境美妙和谐的几何图形，会令人赏心悦目.挖掘数学所具有的动态的神奇之美，给我们以美的熏陶、美的启迪、美的享受，使我们不仅仅掌握数学，应用数学，而且还要鉴赏数学，品味数学几何画板是一个优秀的教育软件以其学习容易、操作简单、功能强大的特点在我国中学数学多媒体辅助教学中得到广泛的应用事实上几何画板的迭代等许多功能在数学的多媒体辅助教学中也大有作为遗憾的是尚未引起足够的重视这方面的文章目前还很少见本文就谢尔宾斯基三角形、谢尔宾斯基地毯、谢尔宾斯基金字塔、门杰海绵柯赫曲线柯赫等内容探讨几何画板迭代功能在数学教学中的应用意在抛砖引玉迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。最典型的例子就是对阶乘运算可看作一下的定义：。递归算法的特点是书写简单，容易理解，但是运算消耗内存较大。我们先来了解下面这几个最基本的概念。 迭代：按一定的迭代规则，从到的反复映射过程。 原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为种子。 初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。与原象是相对概念。 迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数。几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代，我们称为深度迭代。两者没有本质的不同，但前者需要手动改变迭代的深度，后者可通过修改参数的值来改变迭代深度。那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。 谢尔宾斯基三角形波兰著名数学家在1915-1916年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子， 这些怪物常称作谢氏三角、谢氏地毯、谢氏、谢氏海绵。 著名的谢尔宾斯基三角形，具有严格的自相似特点。不断连接等边三角形的中点，挖去中间新的小三角形进行分割随着分割不断进行谢尔宾斯基三角形总面积趋于零，总长度趋于无穷。?分析：取一个大的正三角形，连接各边的中点，得到4个完全相同的小正三角形，挖掉中间的一个，这是第一步。然后将剩下的三个小正三角形按照上述办法各自取中点、各自分出4个小正三角形，去掉中间的一个小正三角形，这是第二步。依次类推，不断划分出小的正三角形，同时去掉中间的一个小正三角形。这就是谢氏三角形的生成过程。步骤新建绘制出线段双击点，标记为旋转中心。选中线段以及点B，选择【变换】【旋转】，旋转角度设置为60。点击“旋转”按钮。将点B的标签更改为绘制线段。 取ABC三边中点为D、E、F，连接DEF，就得到△DEF。 （3）填充这个三角形，并度量它的面积，选择△DEF和相应的度量结果，点击【】【】【】【】【】【】【】【】【】【】【】【】【】【】【】【】 图1-1 图1-2 例2、谢尔宾斯基地毯和相似，只是步骤多了一些。取正方形将其9等分，得到9个小正方形，舍去中央的小正方形，保留周围 8 个小正方形。然后对每个小正方形再 9 等分，并同样舍去中央正方形。按此规则不断细分与舍去，直至无穷。步骤线段AB，选中线段以及点，选择【变换】【旋转】，旋转角度设置为0°，点击“旋转”按钮。将点的标签更改为。造正方形ABCD。【】【】，B、D【】【】缩放为得到E、F；为得到、；以为缩放中心，填充中间的正方形MNP，度量MNQP的面积，【】【】【】【】【】【】【】【】【】【】【】【】【】【】【】【】【】单击迭代，隐藏不必要的。 图2-1 例3、门杰海绵海绵奥地利数学家K．门杰(K．Menger)从三维的单位立方体出发，用与构造谢尔宾斯基地毯类似的方法，构造了门杰“海绵”(1999年以前，大部分分形著作中，均误称之为谢尔宾斯基海绵)；用与构造谢尔宾斯基三角形类似的方法，构造了谢尔宾斯基金字塔(图)。门格海绵的每一个面都是谢尔宾斯基地毯；谢尔宾斯基在力学上也有实用价值，谢尔宾斯基结构节省材料，强度高，例如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似。这是两座宏伟的集合大厦，里面有无数的通道，连接着无数的门窗。这种“百孔千窗”、“有皮没有肉”的结构的表面积是无穷大，它们是由反复挖去一拨比一拨小的立体所生成，是化学反应中催化剂或阻化剂最理想的结构模型。如果我们制作任意三角形的谢尔宾斯基三角形和任意四边形的谢尔宾斯基地毯（即三角形和四边形的顶点都是自由点），然后按照多面体的侧面数将他们复制。利用画板合并点的功能，将它们“粘贴”到棱锥和正方体的各个侧面上，可以制作和。 图3-1 图3-2 图4-1