格林公式.曲线积分与路径的无关性.ppt

返回 后页 前页 §3 格林公式·曲线积分 与路线的无关性 在计算定积分时, 牛顿-莱布尼茨公式反映了区间上的定积分与其端点上的原函数值之间的联系; 本节中的格林公式则反映了平面区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线积分之间的联系. 一、格林公式 二、曲线积分与路线的无关性 返回 一、格林公式 设区域 D 的边界 L 是由 一条或几条光滑曲线所 组成.边界曲线的正方向 规定为:当人沿边界行走 时,区域 D 总在它的左边, 如图 21-12 所示. 与上述规定的方向相反的方向称 为负方向,记为 定理21.11 若函数 在闭区域 D 上 有连续的一阶偏导数, 则有 (1) 这里 L 为区域 D 的边界曲线, 并取正方向. 公式(1)称为格林公式. 证 根据区域 D 的不同形状, 这里对以下三种情形 (i) 若 D 既是 x 型又是 y 型区域(图21-13), 则可表为 作出证明: 又可表为 这里 和 分 分别是曲线 和 的方程. 于是 别为曲线 和 的方 程, 而 和 则 图 21-13 同理又可证得 将上述两个结果相加即得 (ii) 若区域 D 是由一条 按段光滑的闭曲线围成, 且可用几段光滑曲线将 D 分成有限个既是 x 型 又是 y 型的子区域 (如图21-14), 则可逐块按 (i) 得到 它们的格林公式, 然后相加即可. 如图21-14 所示的区域 D, 可将它分成三个既是 x 型又是 y 型的区域 于是 (iii) 若区域 D 由几条闭曲线 所围成, 如图21-15 所示. 这 把区域化为 (ii) 的情形来处 时可适当添加线段 理. 在图21-15中添加了 后, D 的边界则由 注1 并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是 型又是 型区域的并集, 例如由 及 构成. 由(ii)知 所围成的区域便是如此. 注2 为便于记忆, 格林公式 (1) 也可写成下述形式: 注3 应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算. 请看以下二例: 第一象限部分 (图21-16). 解 对半径为 r 的四分之一圆域 D, 应用格林公式: 由于 因此 例1 计算 其中曲线 是半径为 r 的圆在 例2 计算 其中 L 为任一不包含原 点的闭区域的边界线. 解 因为 它们在上述区域 D 上连续且相等, 于是 所以由格林公式立即可得 在格林公式中, 令 则得到一个计算平 面区域 D 的面积 SD 的公式: (2) 例3 计算抛物线 与 x 轴所围图 形的面积 (图21-17). 解 曲线 由函数 表示, 为直线 于是 二、曲线积分与路线的无关性 在第二十章§2 中计算第二型曲线积分的开始两 个例子中, 读者可能已经看到, 在例1中, 以 A 为起点 B 为终点的曲线积分, 若所沿的路线不同, 则其积分 值也不同, 但在例2 中的曲线积分值只与起点和终 点有关, 与路线的选取无关. 本段将讨论曲线积分在 什么条件下, 它的值与所沿路线的选取无关. 首先介绍单连通区域的概念. 若对于平面区域 D 内任一封闭曲线, 皆可不经过 D 以外的点而连续收缩于属于 D 的某一点, 则称此平 面区域为单连通区域; 否则称为复连通区域. 在图 21-18 中, 与 是单连通区域, 而 与 则 是复连通区域. 单连通区域也可以这样叙述: D 内任 一封闭曲线所围成的区域只含有 D 中的点. 更通 俗地说, 单连通区域就是没有“洞”的区域, 复连通区 域则是有“洞”的区域. 定理21.12 设 D 是单连通闭区域. 若函数 在 D 内连续, 且具有一阶连续偏导数, 则以 下四个条件两两等价: (i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有 (ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分 与路线无关, 只与 L 的起点及终点有关; (iii) 是 D 内某一函数 的全微分, 即在 D 内有 (iv) 在 D 内处处成立 证 (i) (ii) 如图 21-19, 设 与 为联结点