电阻磁流体模式-北京大学物理学院.doc

2008全国等离子体物理暑期学校讲义 电阻磁流体模式 Lecture notes on Resistive MHD Modes CSSPP 2008 王晓钢（北京大学） 第一节：等离子体中的电阻磁流体模式 1.1 理想磁流体近似下的奇异性与耗散效应 1.2 Spitzer电阻与欧姆定律 1.3 反常电阻 1.4 电阻磁流体模式简介 第二节：磁重联与经典撕裂模理论 2.1 等离子体中的磁重联现象 2.2 磁重联的基本概念与模型 2.3 托卡马克FKR撕裂模理论 2.4 Rutherford非线性撕裂模理论 第三节：驱动磁重联 3.1 驱动磁重联的Taylor模型 3.2 旋转磁岛的饱和 3.3 误差场与锁模 第四节：锯齿振荡 4.1 托卡马克的“小破裂”现象 4.2 有理面m=1上的扭曲—撕裂模 4.3 锯齿振荡的Kadomtsev模型 4.4* 锯齿振荡的快磁重联模型 第一节：等离子体中的电阻磁流体模式 1.1 理想磁流体近似下的奇异性与耗散效应 我们先来回顾一下理想磁流体（Ideal MHD）理论。前面介绍过，理想磁流体力学方程组是： 连续性方程： (1-01) 力平衡方程： (1-02) Ohm定律： (1-03) 状态方程： 。 (1-04) 这里，，以及（），。其中（I-03）中用到了Faraday定律。此外，比热系数是决定等离子体过程状态的参数：对应等温过程；对应绝热过程；对应不可压缩过程。这一组10个方程，对应10个函数：，，，和。 研究线性的理想磁流体不稳定性，主要方法之一就是所谓“能量原理”的办法。就是对理想磁流体力学方程组作线性近似以后，求其扰动能量积分 ， (1-05) 这里用到了Ampere定律（我们先把电流作为一个数学记号）。如果初始平衡时静态的，则，我们可以得到 。 (1-06) 而由线性化的（1-02）可以得到 。 (1-07) 对一个二维的Harris电流片模型的平衡 ， (1-08) 这里，扰动可以写成 。 (1-09) 于是对这样一种平衡位形，有 (1-10) 这里 。 (1-11) 于是，能量积分（1-05）可以写成下面形式 (1-12) 这里 (1-13) 其中 (1-14) 是磁场的自由能； (1-15) 是等离子体可压缩性引起的自由能变化；而表征不稳定性的MHD流体动能 (1-16) 显然总是正定的。如果（1-12）的面积分项等于零，则Harris电流片的理想MHD稳定性的充分条件是 ： 。 (1-17) 如果等离子体是不可压缩的，则常数，产生不稳定性的充分必要条件是：。 磁场自由能的表示式（1-14）可以写成 ， (1-18) 这里扰动磁通。然后利用变分原理可以得到 。 (1-19) 这个方程的严格解是 ， (1-20) 这里我们已经用到边界值等于零的边界条件。 对于磁通来说，这个解是连续的；但是在平面上磁场不连续；这导致在这个面上的电流的函数型奇异性（-function singularity）！ 另一个典型的例子是Alfvén共振（参见陈骝：《Alfvén波物理讲义》），对于扰动位移是对数奇异性（logarithmic singularity），而对于其它扰动量则是“幂律”奇异性（power-law singularity）。 这些奇异性本质上不是物理的。只是因为我们在做理想磁流体近似的时候忽略了小尺度效应：比如耗散或者动理学效应（kinetic effects）。动理学效应我们以后讲。这里我们主要讨论耗散效应。 1.2 Spitzer电阻与欧姆定律 如果是流动的奇异性，比如涡旋的奇异性，那么粘滞是主要的耗散机制；这里是电流的奇异性，所以电阻就成为主要的耗散机制。经典的等离子体电阻被称为Spitzer电阻。其物理本质是电子在运动中与其它电子、离子和中性粒子的碰撞。可以从电子的运动方程 ， (1-21) 得到“广义Ohm定律” ， (1-22) 这里，被称为Spitzer电阻。在cgs单位制中，它是时间的量纲。由于等离子体振荡是极快的过程，而一般等离子体满足，所以Spitzer电阻很低。在Ideal MHD近似下将其忽略是合理的。 一般来说，对磁化等离子体的MHD过程，特征速度是Alfvén速度。如果等