行列式教学中的几个根本性问题.doc

真正讲透线性代数在二、三维空间的应用 ——工科线性代数现代化和大众化的思路之三 西安电子科技大学电子工程系 陈怀琛 email： hchchen1934@ 摘要：通过用线性代数对二三维向量空间进行分析和图解，使学生大大提高立体概念及其与线性变换、矩阵乘法及矩阵分解的关系。使得学习向量空间的概念更易接受并具有更强的实用性。 我在论文《论工科线性代数现代化和大众化》中曾经提出，对大学一年级的学生，能够建立三维立体概念，已经是不低的要求了。其实教学计划中设立了好几门课程帮助达到这个目的，如制图与画法几何，高等数学中的多变量微积分等，还有物理中的空间电磁场，数学中的场论，电机课中的旋转磁场形成、乃至于信号处理中的复信号等等。线性代数也应该是一个组成部分。我觉得至少对于弱电类的专业，实现的情况并不太好，学生的空间概念还是很弱的，证据之一是许多学生，甚至部分毕业多年的教师，在后续课中，对频谱分析中的负频率，对信号处理中的复信号，都觉得难以理解。对机类专业而言，多自由度机器人，三坐标测量仪，各种航行器在空间的运动，对线性代数在三维空间应用的要求更高。现有的线性代数在此方面相当薄弱，很明显的一点，就教材中使用的三维图形数目来比，中国教材往往只有美国教材的10％以下，所以强化三维空间的概念是非常必要的。 用二、三维向量来说明向量空间的运算规则 二维空间（平面）上的向量及其运算规则，特别是两个线性无关向量的线性组合是学生理解线性代数的感性基础。MIT的教材从下图讲向量的加减运算规则，进而列出其线性组合。再进一步的问题是平面上的任何向量b是否都能由这个线性组合实现，甚至设计了给定b猜测c,d的比赛，看谁能估计出最接近的c,d值。从这里又引入了线性相关的概念，超定方程的概念（若b不在xy平面上）等。 从二维向量引深至三维向量和三维空间，并讨论向量的长度（范数）、向量的数量积（美国的书上还喜欢用点乘(dot product)这个名词，MATLAB中也有点乘算符）、向量积和混合积等。这时就有了更多的空间概念和图形。比如图2那样的图形。 而后在讲行列式的时候，又可以拿出图3的平行六面体说明三阶行列式的几何意义。 人们都说线性代数是在几何与代数之间建立的一座桥梁。所以把空间解析几何放到线性代数中合并实施已经成为许多学校的教学改革措施。几何是要用图形说明概念的，线性代数既然作为桥梁，必然要把图形，特别是三维立体图形放在特别重要的地位，把图形与代数的表述与推导紧密结合，才能使学生理解线性代数的方法论。线性代数的大众化必须把这一点放在重要地位。而要做到这一条，必须使对二三维向量空间的讨论在教材中占主要篇幅。如果突出N维向量空间，那就必然扩大了公式推导的篇幅，图形就没有地位了！ 用向量空间概念求超定方程组的解 用向量空间的方法往往可以更为简捷地推导公式，超定方程组的解可以作为一个例子。通常采用的是误差平方和最小的准则，其解也称为最小二乘解。国外所有作为公共课的线性代数教材，都要讲这个内容，国内教材则几乎避开它。其实线性方程组只有适定、超定和欠定三类，工程中要解决的只有前两类（因为欠定方程属于条件不全的命题，工程师可以拒绝解），不教学生解超定方程，等于浪费了线性代数一半的功能。要严格地推导出最小二乘解的公式，利用空间几何概念是最方便而清楚的。 在图1例中如果设b=[5;10]，求c,d，则可以得出以下的联立方程：，解得c=2，d=3。这是适定方程的情况其图形如右。 如果给出的是三维空间的b向量b=[5;10;1]，那么，由于，联立方程将成为：。由于w,v都在xy平面上，它们的线性组合绝不能跑到z=0以外的空间位置去，故而第三个方程是矛盾方程。 最小二乘解不要求方程左端的合成向量bb准确地等于b，而是要求它与b的误差e在平面上所有可能的bb中达到最小，在图上可以看出，最小的误差即b的矢端离xy平面的垂直距离，也就是应该从b的矢端向xy作的垂线的长度。 如果v和w不在xy平面上，那么最小二乘误差e的特征就应该是与v和w组成的平面垂直，也就是与v和w都满足正交条件。，合成一个向量式：，。因为e=b-bb，其中b是给定的方程组右端列向量，bb则是基本向量的线性组合bb=cw+dv，其中c,d是待求的常数向量x的分量，通常我们用向量x上加一个帽来表示，w,v又组成系数矩阵A，于是，代入两个正交条件，经过如下推导 ，就得到了二三阶条件下最小二乘解的公式。 设A为m(n矩阵，方程数m大于变量数n，称Ax=b为超定方程，即不可能找到一个x，满足Ax(b(0。如果我们不寻求理想的数学解，而是从工程意义上找到尽量接近理想的解，那就应该容许引入误差向量e。 令 其矩阵形式如下 能把误差向量e的范数最小的x就定义为这个超定方程的最小二乘解，也称为x的估计值，通常用表