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基礎物理總論熱力學與統計力學（三）Statistical Mechanics 東海大學物理系 施奇廷 Ensembles (1/2) 定義：極大數目的系統所成的集合，這些系統擁有相同的巨觀性質（壓力、體積、總能量……etc.），但是其微觀特性可能不同 假設：對相同的系統而言，每個微觀狀態出現的機率均等 Ensemble average: ensemble中所有的系統對某一物理量之平均值，而此平均值即我們對一真實系統測量該物理量的結果 Ensembles (2/2) Microcanonical ensemble: ensemble 中所有系統的N, V, U相等 Canonical ensemble: ensemble 中所有系統之N, V, T 相等 Grand canonical ensemble: ensemble 中所有系統之μ, V, T 相等 在不同的條件下（constant temperature, constant pressure……etc.）使用不同的 ensemble 會比較方便 Microcanonical Ensemble Canonical Ensemble Grand Canonical Ensemble Canonical Ensemble (1/3) N, V, T 固定，ensemble中之系統總數為A 所有可能的微觀狀態能量為E1,E2…… 每個能量對應之系統數為a1, a2…… a=(a1, a2……) 的組合對應於一巨觀態 組態a出現的機率為W(a)，系統真正的組態會出現在W(a)極大處。 滿足： Canonical Ensemble (2/3) Ensemble 中任一系統出現在第 j 個微觀狀態的機率為： 熱力學極限：A, aj都趨近於無窮大，則W(a)的極大值W(a*)會遠大於其他的W(a)，a*為最可能之組態，此時 Pj=aj*/A 任何一物理量之canonical ensemble average為： Canonical Ensemble (3/3) 對W(a)求極大值，即得Maxwell-Boltzmann distribution Q稱為「partition function」，各物理量滿足： Grand Canonical Ensemble Quantum Statistics (1/3) 對於量子系統而言，「微觀狀態」指的就是各個粒子佔據各量子態的分佈 假設第 k 個量子態所對應之能量為 εk，佔據這個狀態的粒子數為 nk 此系統之 grand canonical ensemble partition function Ξ為： Quantum Statistics (2/3) 對費米子而言，由於有 Pauli’s exclusion principle，nk只能為0或1，因此 partition function 為： 因此可求出，佔據 k 態的粒子數期望值為： 此稱為 Fermi-Dirac distribution Quantum Statistics (3/3) Boson system: 沒有 exclusion principle，所以 nk 可以是 0,1,2…∞，因此其 partition function 為： 同理，佔據 k 態的粒子數期望值為： 此稱為 Bose-Einstein distribution Summary Ensembles and ensemble average Partition functions of ensembles Thermodynamic variables and the partition function Quantum statistics * * *