第二章 本讲归纳整合2 课件 （人教A版选修4-5）.pptVIP

本讲归纳整合 1．比较法证明不等式 作差比较法是证明不等式的基本方法，其依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件．证明的步骤大致是：作差——恒等变形——判断结果的符号．其中，变形是证明推理中的一个承上启下的关键，变形的目的全在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法． 2．综合法证明不等式 综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立． 综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论．证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握． 3．分析法证明不等式 分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式． 当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效． 由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用． 4．反证法：反证法是一种“正难则反”的方法，反证法适用的范围：①直接证明困难；②需要分成很多类进行讨论；③“唯一性”、“存在性”的命题；④结论中含有“至少”、“至多”及否定性词语的命题． 6．证明不等式的其他方法及一题多证 证明不等式的方法除了上述介绍的比较法、综合法、分析法外，还可以运用反证法等．证明不等式时既可探索新的证题方法，培养创新意识，也可一题多证，开阔思路，活跃思维，目的是通过证明不等式发展逻辑思维能力，提高数学素养. 专题一　比较法证明不等式 【例1】 若abc，求证：a2b＋b2c＋c2aab2＋bc2＋ca2. 证明　∵abc， ∴a－b＜0，b－c＜0，a－c＜0， 于是：a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2) ＝(a2b－a2c)＋(b2c－b2a)＋(c2a－c2b) ＝a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b) ＝a2(b－c)＋b2[(c－b)＋(b－a)]＋c2(a－b) ＝a2(b－c)－b2(b－c)＋c2(a－b)－b2(a－b) ＝(b－c)(a2－b2)＋(a－b)(c2－b2) ＝(b－c)(a－b)(a＋b)＋(a－b)(c－b)(c＋b) ＝(b－c)(a－b)[a＋b－(c＋b)] ＝(b－c)(a－b)(a－c)0， ∴a2b＋b2c＋c2aab2＋bc2＋ca2. 专题四　证明不等式的其他方法 证明不等式的方法除了上述介绍的比较法、综合法、分析法外，还可以运用反证法等．证明不等式时既可探索新的证题方法，培养创新意识，也可一题多证，开阔思路，活跃思维，目的是通过证明不等式发展逻辑思维能力，提高数学素养． 【例4】 已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R. 问命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”的逆命题是否成立，并证明你的结论． 命题趋势 高考试题的考查主要考查不等式的证明为主，以及学生的推理论证能力，难度中等． 网络构建 专题归纳 解读高考 知识网络 要点归纳 网络构建 专题归纳 解读高考