《高中数学教学课件》二面角的定义.pptxVIP

二面角(一) 二面角1.半平面的定义 一个平面内的一条直线将这个平面分成两部分,其中每一部分都叫半平面.二面角二面角CA?B?lD? ?BAFEBADC一、二面角的定义1、定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的表示方法二面角C－AB－ E二面角?－AB－ ?二面角?－ l－ ?二面角C－AB－ D二面角 ? lP P1 BB1AA1 1）角的顶点在棱上? 2）角的两边分别在两个面内 3）角的两边都要垂直于二面角的棱二、二面角的平面角1、定义 以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角二面角的大小用它的平面角的大小来度量∠APB= ∠A1P1B1注意:二面角的平面角必须满足：(与顶点位置无关)二面角的平面角的范围: [0?,180? ]二面角αιβpβpαβιpαι2、作二面角的平面角的常用方法①、点P在棱上—定义法②、点P在一个半平面上—三垂线定理法③、点P在二面角内—垂面法BABABOA例1.如图,已知P是二面角 棱上一点，过 P 分别在?、?内引射线PM、PN，且∠MPN=600， ∠BPM =∠BPN =450，求此二面角的度数。 ? M P OABN ∠COD是二面角 的平面角? ∴CO=a，DO=a， PC a ， PD a∴CD=PC a解：在PB上取不同于P 的一点O，①C 在?内过O作OC⊥AB交PM 于C，在 ? 内作OD⊥AB交PN于D，连结CD，可得：②D设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45o③又∵∠MPN=60o 一“作”二“证”三“计算”∴∠COD=90o因此，二面角的度数为90o二面角的求法已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。过A作AD⊥PC于D， P过D作DE⊥PC于D，交PB于E，连结AE，DCAEB3、讲解例题：1.定义法：则∠ADE就是此二面角的平面角。二面角的求法过B作BD⊥PC于D，过D作DE⊥PC于D，交AC于E，连结BE，DE已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。1’.定义法： P则∠BDE就是此二面角的平面角。CAB二面角的求法过B作BE⊥AC于E，过B作BD⊥PC于D，连结DE，∴ED⊥PC，∵△ABC为正△，∴ BE=在Rt△PAC中，E为AC中点，则DE=DE∴tg ∠ BDE=∴∠ BDE=arctg已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。2’.三垂线定理法：∵PA⊥面ABC，∴面PAC⊥面ABC，∴BE⊥面PAC， P则∠BDE就是此二面角的平面角。CAB二面角的求法过A作AO⊥面BPC于O，连结PO并延长交BC于F，过O作OD⊥PC于D，连结AD，DO已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。2’.三垂线定理法： P则∠ADO就是此二面角的平面角。CAFB二面角的求法过A作AO⊥面BPC于O，连结PO并延长交BC于F，连结OC，OF已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。3.射影面积法： P则△ POC就是△PAC在面PBC上的射影。CAB二面角的求法过B作BD⊥AC于D，连结PD，D已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。3’射影面积法：则△PDC就是△PBC在面PAC内的射影。 PCAB二面角的求法几点说明：⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。⑵三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用。⑷以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。⑸间接法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。 例2. A为二面角?－CD－ ? 的棱CD上一点，AB在平面?内且与棱CD成45o角，又AB与平面? 成30o，求二面角?－CD－ ? 的大小。B? 解：作BC??于C，连结ACAC D 过C作CO?CD于O，连结OB由三垂线定理