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第四章 态和力学量表象 §1 态的表象 §2 算符的矩阵表示 §3 量子力学公式的矩阵表述 §4 么正变换矩阵 §5 Dirac 符号 §6 线性谐振子与占有数表象 （一）动量表象 （二）力学量表象 （三）讨论 §1 态的表象 到目前为止，体系的状态都用坐标(x,y,z)的函数表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。力学量则用作用于坐标函数的算符表示。但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。 波函数也可以选用其它变量的函数，力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。 表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。以前采用 的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。 在坐标表象中，体系的状态用波函数Ψ(x,t)描写，这样一个态如何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。 动量本征函数： 组成完备系，任一状态Ψ可按其展开 展开系数 假设 Ψ(x,t) 是归一化波函数，则 C(p,t) 也是归一。 命题 证 （一）动量表象 |C(p,t)| 2 d p 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在 p → p + d p 范围内的几率。 |Ψ(x,t)| 2d x 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在 x → x + d x 范围内的几率。 Ψ(x,t) 与 C(p,t) 一 一 对应，描述同一状态。 Ψ(x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数； 而 C(p,t) 就是该状态在动量表象中的波函数。 C(p,t) 物理意义 若Ψ(x,t) 描写的态是具有确定动量 p’ 的自由粒子态，即： 则相应动量表象中的波函数： 所以，在动量表象中， 具有确定动量p’的粒 子的波函数是以动量 p为变量的δ- 函数。 换言之，动量本征函 数在自身表象中是一 个δ函数。 x 在自身表象即坐标表象中对应 有确定值 x’本征函数是 δ(x-x)。 同样 这可由本征 值方程看出： 那末，在任一力学量Q表象中， Ψ(x,t) 所描写的态又如何表示呢？ 推广上述讨论： x, p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象， 因此可以对任何力学量Q都建立一种表象，称为力学量 Q 表象。 问题 （1）具有分立本征值的情况 （2）含有连续本征值情况 （二）力学量表象 （1）具有分立本征值的情况 设 算符Q的本征值为： Q1, Q2, ..., Qn, ...， 相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。 将Ψ(x,t) 按 Q 的 本征函数展开： 若Ψ, un都是归一化的， 则 an(t) 也是归一化的。 证： 由此可知，| an| 2 表示 在Ψ(x,t)所描述的状态 中测量Q得Qn的几率。 a1(t), a2(t), ..., an(t), ... 就是Ψ(x,t)所描写状态在Q表象中的表示。 写成 矩阵形式 共轭矩阵 归一化可写为 （2）含有连续本征值情况 例如氢原子能量就是这样一种力学量， 即有分立也有连续本征值。 设力学量 Q 的本征值和本征函数分别为： Q1, Q2, ..., Qn, ..., q u1(x), u2(x), ..., un(x), ..., uq(x) 则 归一化则变为： |an(t)|2 是在 Ψ(x,t) 态中测量力学量 Q 所得结果为 Qn 的几率； |aq(t)|2dq 是在Ψ(x,t) 态中 测量力学量 Q 所得结果在 q → q + d q之间的几率。 在这样的表象中，Ψ 仍可以用一个列矩阵表示： 归一化仍可表为：Ψ+Ψ= 1 这类似于一个矢量可以在不同坐标系描写一样。矢量 A在直角坐标系由三分量Ax Ay Az 描述；在球坐标系用三分量Ar A? A? 描述。 Ax Ay Az 和 Ar, A?, A? 形式不同，但描写同一矢量A。 态矢量 基本矢量 同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同， 波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态。 波函数 是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方向上的“分量”。Q表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为Hilbert空间。 所以我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。 选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定的坐标系， u1(x), u2(x), ..., un(