第四章群论在固体物理中的应用.ppt

32个晶体点群不可约表示的特征标表 三斜晶系： 单斜晶系： 正交晶系： 四角晶系： * 第四章 群论在固体物理中的应用 在固体物理中，对晶体的研究占据了相当大的比重。 晶体：“三维空间中的一种规则排列无限重复的原子、分子、离子或原子集团的集合”。 晶体具有高度的对称性，从而形成了一系列对称群、对称群对晶体的能级分裂，能带形成等起主导作用。 §4.1 点群 晶体的对称性可以用三种形式的几何变换或操作描述： 其中，反演+（真）转动 ? 非真转动（转反轴） 例：① n重旋转轴—— ，n为某些整数 n=4 对称性的阶等于4=h （即对称群的阶） ②对称面 O D C A B C4 h=2 ③对称中心 ④旋转反演轴（转反轴） ——旋转和反演的复合操作 A是A的转反像 以上四种对称要素相应的操作中，空间中至少有一个点保持不动。 对称中心 O A B A 定义：由真转动和非真转动的各种组合都可保持一个点（原点）的位置不动，称之点群操作，它们的集合称为点群。 定义：由平移操作和点群操作的各种组合叫作空间群操作，它们的集合称为空间群。 注意：严格讲：空间群操作，空间每一点都要动，因此，空间对称操作只有对无限延伸的物体才能进行。 一般采用周期性边界条件解决此类问题。 4.1.1 晶体点群的对称操作 晶体具有平移对称性，因此，晶体中的点群操作受到严格限制。 晶体中的真转动是绕某一轴正向（逆时针）转动某一角度?。 即? =360o，180o，120o，90o，60o以及它们的组合： 240o，270o，300o。 证明 n =1,2,3,4,6 A和B是 （晶格常数）方向上的两点阵 设绕A点转动角?，则B点转到B点 设绕B点转动角?，则A点转到A点 A A B B ∵转动后原子点阵应重合，故 是一点阵矢量 即： ，m——整数 由图可知： ∴ ∴ ∴ ，n=1,2,3,4,6 在非真转动中的角度转动部分也是如此。 4.1.2 立方晶系的群（Cubic Crystal System） 立方晶系的群 T群（T，Td，Th） O群（O，Oh） 1、O群（Octahedron Group) 正八面体群 对称元素： 3个四度轴：x,y,z轴 4个三度轴：oA1，oA2，oA3，oA4轴 6个二度轴：oa，ob，oc，od，oe，of 不变操作 x y z A1 A8 A7 A6 A5 A4 A3 A2 o a b c d e f 总操作数为: 3×3（四度轴有三个操作）=9 4×2（三度轴有二个操作）=8 6×1（二度轴有一个操作）=6 不变操作 =1 共有24个真转动操作。 x y z A1 A8 A7 A6 A5 A4 A3 A2 o a b c d e f 1C1，不动，群元E 6C ?2，绕对边中点连线转动180o（2-度对称） x y z A1 A8 A7 A6 A5 A4 A3 A2 o a b c f d g x y z A1 A8 A7 A6 A5 A4 A3 A2 o a b c f d g 8C3，绕对角线转动120o 和240o （3-度对称） x y z A1 A8 A7 A6 A5 A4 A3 A2 o a b c f d g x y z A1 A8 A7 A6 A5 A4 A3 A2 o a b c f d g x y z A1 A8 A7 A6 A5 A4 A3 A2 o a b c f d g 6C4，绕xyz轴转动90o （4-度对称） x y z A1 A8 A7 A6 A5 A4 A3 A2 o a b c f d g x y z A1 A8 A7 A6 A5 A4 A3 A2 o a b c f d g x y z A1 A8 A7 A6 A5 A4 A3 A2 o a b c f d g x y z A1 A8 A7 A6 A5 A4 A3 A2 o a b c f d g 3C2，绕xyz轴转动180o （2-度对称） O群有5类，24个群元，有5个不可约表示 O群有两个1-维表示，一个2-维表示，两个3-维表示。 上述表示是O群的个3-维表示 2、Oh群 8个全同原子位于立方体的8个顶点 O群的24个真转动，加上中心反演，又有24个非真转动，因此共有48个操作。共分为10个类。 1C1，不动，群元E 6C?2，绕对边中点连线转动180o（