9.2正项级数及其收敛性.ppt

第二节 正项级数及其收敛法 正项级数及其收敛法 第三节 任意项级数 交错级数及其收敛法 绝对收敛与条收收敛 * 首 页 上 页 下 页 尾 页 * 首 页 上 页 下 页 尾 页 * 一、正项级数及其审敛法 1.定义: 则称此级数为正项级数. 2.正项级数收敛的充分必要条件: 正项级数收敛的基本定理 注： 正项级数收敛的本质 —— un ?0足够快。 3.比较审敛法 重要参照级数: 等比级数, p-级数。 极限形式: 注: 须有参照级数. 比较审敛法的不方便—— 结论: 解 ?发散. 故原级数收敛. 由项的比值或根值的极限值确定级数的收敛性. 比值审敛法、根值审敛法的优点: 注意: 解 解 解 解 比值审敛法失效. 根值审敛法也一定失效. 改用比较审敛法 一、交错级数及其审敛法 正、负项相间的级数称为交错级数. 称为级数余项 收敛且S1 如果 则 例如 二、绝对收敛与条件收敛 解 故原级数（绝对）收敛. 解 *定理（绝对收敛与条件收敛的本质） (1) 绝对收敛的级数，可以任意改变项的顺序，其收敛性与和均不变； (2) 条件收敛的级数，总可以适当改变项的顺序，使其按任意预定的方式收敛或发散。 注： 用比值或根值审敛法判定的非绝对收敛级数一定发散。 三、小结 正 项 级 数 任意项级数 审 敛 法 1. 2. 4. 充要条件 5. 比较法 6. 比值法 7. 根值法 4. 绝对收敛 5. 交错级数 (莱布尼茨定理) 3. 按基本性质; (*) 第四节 幂级数 一. 函数项级数 1.定义 函数项级数 是定义在区间 I 上的函数列 在 I 中任取一点 ,就得到一个数项级数 收敛, 收敛点 发散, 发散点 函数项级数的全体收敛点的集合称为收敛域 2.收敛域 3.和函数： 在收敛域内，函数项级数的和依赖于点x，因此其和是x的函数，称为和函数 4.余项: 前n项的部分和 在收敛域内才有意义,且 二. 幂级数及其收敛性 幂级数 各项都是幂函数的函数项级数 一般形式: 特例 系数 (1) (2) 主要讨论(2),因为(1)可以通过变量代换化成(2) 1.幂级数的收敛域 x = 0 时(2)收敛,一般的,幂级数收敛域是一区间. 例 由等比级数的性质, 时收敛, 时发散 则收敛域(－1,1)内 定理1 (阿贝尔定理) 如果 ： 1.在点 收敛, 则当 时，它绝对收敛 2.在点 发散, 则当 时，它发散. 推论 设 存在非零的收敛点,又存在发散点,则 存在R0,使得当 |x|R 时它绝对收敛,当 |x|R 时它发散 注:三种收敛情形: (1) 仅在 x = 0 处收敛; (2) 在 内处处收敛; (3) 在(－R,R )内收敛,端点另外讨论 收敛区间 R—收敛半径 R= 0 R= + ∞ 2.收敛半径的求法 定理2 (证明略) 例 求收敛半径和收敛域 x =1 时 收敛； x =－1时 收敛域是(－1，1] 发散 * 首 页 上 页 下 页 尾 页 * * * *