§3－2无穷等比级数与循环小数.doc

§無窮等比級數 主題1：無窮等比級數 1.級數的收斂：之前項的和為，若收斂，則稱此無窮級數收斂，且其值為。 2.無窮等比級數，，其值是否存在如下：(1)若，則。(2)若，則： (a)級數收斂，且。 (b)級數發散。 ※ 【級數收斂】 3.若、均收斂，則、均收斂；且 (1)。 (2)。 ※重要範例 1.下列式子哪些是正確的？(A)( 0　(B)( 3　(C)(　(D)(0　(E)( 0 【解答】(A)(B)(C) 【詳解】(A)對。(( 0　(B)對。(( 3(C)對。((　(D)錯。((E)錯。( 1 ((( … ( 0 隨堂練習(B)(C)(D)(E)。 【解答】(C)(D) 【詳解】(1)5 ( 5 (…( 5 +…∵　而（不存在）　∴　原級數發散(2)∵　，而　∴　原級數發散(3) =　∴　原級數收斂(4)∵　　∴　　∴　原級數收斂(5)利用「收斂，則」，即「若，則發散」∵　　∴　原級數發散 2.下列敘述何者正確？(A)(B)　(C)(D)　(E)。【解答】(A)(C)(E) 【詳解】(A)　(B)(C)　(D)(E) 隨堂練習(C) 1 ( 2 ( 4 ( 8 ( 16 ( 32 (…( ( (2 ) n(1(… (；(D) 2.( 3(E)無窮級數1 ( 2 ( 4 (…( 230 (( ()2 (…( ()n +…是收斂的。 【解答】(B)(E) 【詳解】(A)1 (1 ( 1 (1 ( 1 (1(…( ( (1) n (1 (…數列((為振動數列，其極限不存在，故其和不存在(B)(((C)1 ( 2 ( 4 ( 8 ( 16 ( 32 (…(公比　∴　級數為發散(D) 2.( 2 ( 0.9 ( 0.09 ( 0.009 (… ( 2 (… ((E) 1 ( 2 ( 4 (…( 230 (( ()2 (…( ()n (…( 1 ( 2 ( 22 (…( 230 ( = 1 ( 2 ( 22 (…( 230 ( 1 ( 231　∴　此級數是收斂的 3.已知一無窮等比級數，和為，其第二項為 ( 4，則首項為　　　　　。 【解答】6 【詳解】設首項a，公比 | r | ( 1　(　由(得，代入(得(　　(　或（不合）∴　 隨堂練習 【解答】 【詳解】設首項為a1，公比為r，則　(　得　(　　(　　(　 4.求下列各級數之和：(1)　　　　　。　(2)　　　　　。(3) 0.3 ( 0.033 ( 0.00333 ( 0.0003333 (…( 　　　　　。 【解答】(1) 2251　(2) 15　(3) 【詳解】(1)( ( 2046 ( 165 ( 40 ( 2251(2)(3) 0.3 ( 0.033 ( 0.00333 ( 0.0003333 (?3( ((( 5.設無窮等比級數之和為S，前n項之和為Sn，則S ( 　　　　　，又若 || (，則最小自然數　　　　　。 【解答】；7 【詳解】，||(　3．4n ( 20000　(　∴　　∴　n = 7為最小 隨堂練習　　　。 【解答】 【詳解】( 其一般項(∴　原式 ((( 隨堂練習之和為　　　。 【解答】 【詳解】( 隨堂練習(…((… ( 3，則2a ( b ( 　　　　　。 【解答】9 【詳解】因為(…((…( a ((…) (((…)( () ((…) ( ()．( ()．( 3故得2a + b ( 9 6.無窮級數為收斂級數，則x範圍為　　　　　；又若此級數和為，則x ( 　　　　　。 【解答】(1 ( x (； 【詳解】(1)收斂級數　(　|| ( 1　(　| 2x | ( | 1 ( x |　(　4x2 ( 1 ( 2x ( x2(　3x2 ( 2x (1 ( 0　(　(3x (1)(x ( 1) ( 0　(　(1 ( x ((2)∵　是收斂級數　∴　 ((又因為無窮級數的和為，故　(　2x(x + 8) ( ( (2x + 4)(1 ( 3x)(　2x2 ( 3x ( 2 ( 0(　(2x ( 1)(x ( 2) ( 0　(　x (或x ( 2因為 (1 ( x (，故取x ( ( 隨堂練習，其第二項為( 2，若其首項為a，公比為r，則a (　　　　　；r (　　　　　。(2) x ( R，x ( 1，若無窮級數之和為S，則x的集合為　　　　　；S (　　　　　。 【解答】(1) 6；　(2){x | (1 ( x ( 1}； 【詳解】(1)　(　(　(　9r2 ( 9r ( 4 ( 0　(　(3r + 1)(3r ( 4) ( 0得r (，（不合　∵