Higher深圳大学科学与工程计算数值分析课件讲述.ppt

性质： 1) 设k是任意复数. 则有??, k??=k??, ??; 2) ??, ?+??=??, ??+??, ??; 3) 定义向量?的长度为: 4) 柯西-布涅可夫斯基不等式：|??, ??|?|?||? | 5) 如果??, ?? =0, 则称?与?正交, 记为 ? ?? 6) 设Q为n阶复矩阵，如果QHQ=QQH=I 则称Q为酉矩阵. 7) 设Q为n阶复矩阵，如果 QH=Q 则称A为轭 米特矩阵. 8) 酉矩阵的任意两列是单位正交的; 9) 对Cn的任意两个向量x,y有Ux,Uy=x,y 10) 对Cn的任意向量x有|Ux|=|x| 11) 酉矩阵的逆是酉矩阵 12) 酉矩阵的任意特征值均为单位复数 13) 设酉矩阵行列式的模为1 定理 设U为酉矩阵，则存在酉矩阵V使得VHUV为对角矩阵 推论 正交矩阵Q必酉相似于一个对角阵，即存在酉矩阵V使得VHQV为对角矩阵 定义 设A，B是复方阵（实方阵），若存在酉矩阵（正交矩阵）V使得VHAV=B，则称A酉相似（正交相似）于B。 Schur引理 任何复方阵均酉相似于上三角矩阵；如果实方阵的特征值均为实数，则它正交相似于实上三角矩阵。 定义 设A是复矩阵，若AHA= AAH ，则A域是正规矩阵。显然，轭米特、反轭米特、酉矩阵都是正规矩阵，因而对称、反对称、正交矩阵也都是正规阵。 推论：对设A为正规矩阵，则 1）A为轭米特矩阵?A的特征值均为实数 2）A为反轭米特矩阵?A的非零特征值均为纯虚数 3）A为酉矩阵?A的特征值均为单位复数 定理：对n阶矩阵A与对角矩阵酉相似的充要条件为A是正规矩阵。 §6 正规矩阵 引理: 正规的上三角矩阵必为对角矩阵。 定义：同时对角化：设A，B是n阶正规矩阵，如果存在酉矩阵Q使得QHAQ， QHBQ均化为对角矩阵，则A，B可同时对角化。 定理：设A，B是n阶正规矩阵，它们同时对角化的充要条件是AB=BA。 定理: 实正规矩阵A与对角矩阵正交相似的充要条件 是A为实对称矩阵。 §7正交谱分解 定义（正交投影） 令S是Cn的子空间，S⊥是S在Cn中的正交补，即S⊥ S⊥，且Cn = S+ S⊥ 。任意的x? Cn ,存在唯一的 xs ?S, xs⊥ ? S⊥ , s.t x= xs + xs⊥ .如果矩阵Ps 使得 Ps x = Ps (xs + xs⊥) = x 则称Ps 是沿方向S⊥到S上的正交投影。 定理 矩阵P是正交投影的充要条件为它是轭米特的幂等矩阵. (幂等：P2x=Px） 定理（正交谱分解） 设A是正规矩阵，假定λ1, λ2,… λk是A的所有相异的特征值，相应的特征子空间为S1, S2,… Sk. 则有 A = λ1P S1 + λ2P S2 +… + λkP Sk 并且1P Si是Si上的正交投影，满足 P S1 + P S2 +… + P Sk = I. 注： 1. A = Vdiag(d1, d2,… dn)VH=d1 v1v1H+d2 v2v2H+…+dn vnvnH §8 矩阵分解 定义（正交三角分解） 如果非奇异实方阵A能够表示为正交矩阵Q与上三角矩阵R的乘积，即A=QR，则称A的QR分解。 类似还有：QL,LQ, RQ分解。 定理 对任意非奇异实方阵A总存在QR分解，如果要求上三角矩阵R的主对角元素均为正，则分解唯一。 定理（非方阵） 对任意列满秩的实矩阵A总可以分解成列正交矩阵Q与上三角矩阵R的积。 方法 （1）Givens 方法 （旋转矩阵） （2）Householder方法 欧几里德空间(Euclidean Spaces) §1 定义和性质· 向量的内积 几何空间R3中的向量的内积 ? ·?=|?||?|cos? 其中, ? 为? 和?的夹角. 并且， 定义1 设V是实数域R上线性空间, 在V上定义了一个二元实函数, 称为内积, 记为??, ??, 具有如下性质： (iii) 恒正性：对任意的向量?有??, ???0, 并且 ??, ?? =0的充分必要条件为?=0； (i) 对称性：??, ??=??, ??； (ii) 线性性：对任意向量?, ?, ? 和数k,