ly4线性代数,数值积分讲述.ppt

矩阵的基本运算 解线性方程组 矩阵特征值、特征向量 用数值方法计算定积分 矩阵的基本运算 注意 k是一个数，A是一个矩阵 k*A A\B AX=B, X=A-1B, A必须是方阵 数 乘 矩阵的左除 矩阵的右除 A/B XB=A,X=AB-1, B必须是方阵 矩阵的行列式 det(A) A必须为方阵 矩阵的逆 inv(A) A必须为方阵，|A| ? 0 矩阵的乘幂 A^n A必须为方阵，n是正整数 矩阵行变换化简 rref(A) 求A阶梯形的行最简形式 P82 表5-1 矩阵的特征值、特征向量、特征多项式 [V,D]=eig(A) 例1 A=[1,-1;2,4]; [V,D]=eig(A) ans V= -985/1393 1292/2889 985/1393 -2584/2889 方阵A的特征向量矩阵 D= 0 0 3 方阵A的特 征值矩阵 矩阵的特征值、特征向量、特征多项式 p=poly(A) 若A为矩阵，则p为A的特征多项式系数； 若A为行向量，则p为以A为根的特征多项式系数。 例1 A=[1,-1;2,4]; p=poly(A) poly2str(p,’x’) poly2str(p,’x’) 得到多项式的习惯形式 ans p=[1 -5 6] x^2-5x+6 解 线 性 方 程 组 1、逆矩阵法（求逆法） X = 1.4000 0.4000 解： 例1： 求方程组的解 A=[2,3;1,-1]; b=[4;1] X=inv(A)*b 相当于 ans 方程的解是：x=1.4, y=0.4 A=[2,3;1,-1]; b=[4;1] X=A\b 逆矩阵法（左除与右除法） 例1： 求方程组的解 解 线 性 方 程 组 解： ans X = 1.4000 0.4000 方程的解是：x=1.4, y=0.4 相当于 AX=b,X=A\b AX=B X=A\B XA=B X=B/A 2、初等变换法 解 线 性 方 程 组 在线性代数中用消元法求线性方程组的通解的过程为： 1、用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最 后的恒等式“0=0”去掉； 2、如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于非 零的数，那么方程无解。否则有解； 3、在有解的情况下： 如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量 的个数，那么方程组有唯一的解； 如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量 的个数，那么方程组有无穷多个解。 例5-21 求齐次线性方程组的通解 解： Matlab命令为 1 0 4 0 0 1 -3/4 -1/4 0 0 0 0 ans= A=[1 -8 10 2;2 4 5 -1;3 8 6 -2]; 系数矩阵 rref(A) 行的最简形式 解 线 性 方 程 组 分析： 将0=0的一行去掉，则原方程组等价于 方程的个数未知量个数 有无穷多个解 取 得 取 得 基础解系为 ， 所以方程的通解为 其中 k1, k2 是任意实数 解 线 性 方 程 组 例5-22 求非齐次线性方程组的通解 解： MATLAB命令为： B=[1 -1 -1 1 0;1 -1 1 -3 1;1 -1 -2 3 -1/2]; rref(B) ans = 1 -1 0 -1 1/2 0 0 1 -2 1/2 0 0 0 0 0 分析：原方程组对应的同解方程组为： 方程的个数未知量个数 有无穷多个解 其中一个特解为： 例 求非齐次线性方程组的通解 解： Matlab命令为 B=[4 2 -1 2;3 -1 2 10;11 3 0 8]; rref(B) 解 线 性 方 程 组 ans= 0 3/10 0 0 1