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6.第六章
第 6 章 連續機率分配 統計實例 寶鹼公司是一家全球性的日用品製造商,該公司的產品包括清潔劑、嬰兒尿布、成藥、牙膏、肥皂、漱口藥水和衛生紙等。 寶鹼的工業化學部門是油脂性酒精的主要供應商,這種酒精是從天然植物油(如椰子油)或石油裂解物抽取而成。 該部門想要瞭解擴充此種酒精的生產設備之經濟風險及機會,因此他們請求寶鹼分析專家們的協助。經由問題的建構與分析,這些專家認為主要影響獲利的因素為石油和椰子原料成本的差價。 連續機率分配 6.1 均勻機率分配 6.2 常態機率分配 6.3 二項機率的常態分配近似值 6.4 指數機率分配 連續機率分配 連續機率分配 連續隨機變數的機率定義的另一個涵義是任何特定隨機變數值的機率值為0,因為 f(x)圖形上任何一點所佔的面積為0,6.1節將介紹均勻機率分配以說明連續隨機變數的相關概念。 6.1 均勻機率分配 均勻機率分配實例 假設我們得到充分的飛行資料,並獲知飛行時間為120分鐘至140分鐘之內任一分鐘的機率都是相同的。 飛行時間和機率密度函數可用均勻機率分配表示為 均勻機率分配實例 圖6.1是此機率密度函數的圖形。在飛行時間的例子中,a=120而b=140。 均勻機率分配實例 在飛行時間的例子中,其機率問題可以是:飛行時間介於120到130分鐘的機率為何?也就是P(120 x 130)是多少?由於飛行時間介於120到140之間,而且是均勻分配,我們可以說 P(120 x 130)=0.50。接下來,我們將說明此機率值可以利用介於x=120到130的 f(x)圖形下方面積求得(見圖6.2)。 均勻機率分配實例 均勻機率分配實例-以面積衡量機率 首先考慮圖6.2中介於120至130間的f(x)圖形下方的面積,此區域是一個長方形,長為130-120=10,而高為機率密度函數f(x)的值= 1/20,面積則為長×高 = 10(1/20)= 10/20=0.50。 由f(x)圖形下方的面積及機率,可得知什麼結果?面積等於機率。事實上,對所有的連續隨機變數而言都是如此。一旦確認了機率密度函數f (x),計算較小的x值到較大的x值之間的面積就可得到機率值。 均勻機率分配實例-以面積衡量機率 已知飛行時間的均勻機率分配,以及機率函數圖形下方的面積就等於機率,我們便可以回答關於飛行時間的機率問題。例如,飛行時間為128到136分鐘的機率是多少?區間的寬度是136-128=8,高度則是f (x)=120,所以,P(128 ≤ x ≤ 136)=8(1/20)=0.40。 請注意P(120 ≤ x ≤ 140)=20(1/20)=1,也就是說機率密度函數下的總面積等於1。此一特性對所有的連續隨機變數皆成立,而且此特性可類比為離散隨機變數之機率總和等於1。對連續機率密度函數而言,任一x值的f(x) ≥ 0也是必要的,這個條件亦可類比為離散隨機變數的f(x) ≥ 0。 均勻機率分配實例-以面積衡量機率 處理連續隨機變數和離散隨機變數時,有兩個主要的不同點: 我們不再說某一特定變數值的機率值,而以隨機變數值在某一區間的機率來替代。 隨機變數在區間 x至 x的機率值,是機率密度函數在該區間的圖形下方的面積;也就是說一連續隨機變數在任何特定值時的機率是0,因為該點的面積在 f(x)圖形下的總面積為0。 均勻機率分配 均勻機率分配實例 應用這些公式來計算從芝加哥到紐約的飛行時間,我們可以得到:標準差為變異數的正平方根,因此, σ =5.77分鐘。 評註 對連續隨機變數而言,變數為任何特定值時的機率皆為零,因此P(a ≤ x ≤ b)=P(a x b),這說明了無論這個區間是否包含端點的隨機變數值,此區間的機率皆相同。 為了更進一步顯現機率密度函數的機率不是高度,可以觀察下列的均勻機率分配:在x值為0到0.5之間的機率密度函數高度為2,但機率值一定不會大於1。因此,我們不能視機率密度函數值為機率值。 6.2 常態機率分配 常態機率分配(normal probability distribution)可以說是最重要的連續機率分配。 常態機率分配的運用範圍很廣,諸如身高、體重、測驗的分數、科學測量、降雨量等等的隨機變數,都適合以常態分配來描述。 常態機率分配 常態機率分配 常態機率分配 常態機率密度函數 常態機率分配 常態機率分配 常態機率分配 常態機率分配 常態機率分配 常態機率分配 特性 常態機率分配 常態機率分配 常態機率分配 標準常態機率分配 標準常態機率分配 標準常態機率分配 給定一z值,我們可以利用標準常態表求得機率(曲線下的區域)。 標準常態機率分配 標準常態機率分配 標準常態機率分配實例 標準常態隨機變數的z值如果從0到1,則其相對應的機率將是多少?也就是P(0.
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