Newton-Cotes求积公式讲述.ppt

(2). Simpson公式及其余项 Cotes系数为 求积公式为 上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式 记为 Simpson公式的余项为 Simpson公式具有3次代数精度 (3). Cotes公式及其余项 Cotes系数为 求积公式为 上式称为Cotes求积公式，也称五点公式 记为 Cotes公式的余项为 Cotes公式具有5次代数精度 常用的NC公式： 常用的NC公式 观察这些公式的代数精度阶数，自然会得出结论： 梯形规则简单，有1阶代数精度； 再增加一个节点，就是具有3阶代数精度的Simpson公式； 而Simpson3-8公式又增加一个节点，精度却没有提高。 所以，人们一般常用前两个方法。 Cotes系数的性质: 三、Newton-Cotes公式的稳定性(舍入误差) 考察Cotes系数 因此用Newton-Cotes公式计算积分的舍入误差主要由 其值可以精确给定。 记 而理论值为 即 Newton-Cotes公式的舍入误差只是函数值误差的 此时,公式的稳定性将无法保证 因此,在实际应用中一般不使用高阶Newton-Cotes公式 而是采用低阶复合求积法(下节) 7.2 复化求积法 直接使用Newton-Cotes公式的余项将会较大； 公式的舍入误差又很难得到控制。 为了提高公式的精度,又使算法简单易行,往往使用复合方法 然后在每个小区间上使用低阶Newton-Cotes公式， 最后将每个小区间上的积分的近似值相加。 一、复化求积公式 各节点为 记为 由积分区间的可加性, 得 复化求积公式 复化梯形公式: 称为复化Simpson公式或复化抛物线公式 例1. 解: 为简单起见,依次使用n=8的复化梯形公式、 n= 4的复化Simpson公式. 可得各节点的值如右表 0 1 0.125 00.25 00.375 00.5 00.625 00.75 00.875 0 1 0分别由复化梯形、Simpson公式有 原积分的精确值为 精度高 精度低 比较两个 公式的结果 那么哪个复化求积公式的收敛最快呢？ 二、复化求积公式的余项和收敛的阶 我们知道,两个求积公式的余项分别为 单纯的求积公式 复合求积公式的每个小区间 则复化梯形公式的余项为 由于 即有 比较两种复化公式的的余项 为此介绍收敛阶的概念! 定义1. 不难知道,复合梯形、Simpson公式的收敛阶分别为 2阶、4阶 通常情况下,定积分的结果只要满足所要求的精度即可 See you next time! 《应用数值分析》第四章： 4.2.5小节中的例题 及例题4.3.1； 习题 4.1——4.7、 4.12、4.13、4.17 第七章 微积分的数值计算方法 传统方法的困境 数值积分的基本思想 数值积分的一般形式 代数精度问题 求函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的定积分 是微积分学中的基本问题。 返回章 7.1 基本概念 对于积分 但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象: 传统方法的困境 以上这些现象,Newton-Leibniz很难发挥作用! 只能建立积分的近似计算方法-------- 数值积分正是为解决这样的困难而提出来的， 不仅如此，数值积分也是微分方程数值解法的工具之一。 数值积分的基本思想 数值积分----是计算定积分的具有一定精度的近似值的各种计算方法。 从几何上看，就是计算曲边梯形面积的近似值。 最简单的办法，是用许多小矩形之和近似曲边梯形 的面积，如图7-0所示，这就是----矩形公式： 图7-0 矩形规则 y x a=x0 x1 x2 xi xi+1 xn-1 xn =b f0 f1 f2 fi fi+1 fn-1 fn f(x) (1) 图7-1 梯形规则 x a=x0 x1 x2 xi xi+1 xn-1 xn =b y f0 f1 f2 fi fi+1 fn-1 fn f(x) 如果改用许多小