构造法在中学数学中的应用课案.doc

构造法在中学数学解题中的应用研究 摘要：构造法是一种重要的划归手段，学生通过观察、分析、抓住特征、联想熟知的数学模型，然后变换命题，恰当的构造新的数学模型来达到解题的目的，在中学数学解题中具有重要的作用，主要涉及函数，图形，方程，数列等内容。构造法是一种富有创造性的方法，属于非常规思维，运用构造法解题有利于培养学生的创造性思维，提高学生观察、分析、解决问题的能力。 关键词：构造法，观察，分析，创造性，解题 一、构造法研究背景 构造法是数学解题中一种十分重要的基本方法，是根据题目中所给的条件或者结论，通过观察、分析、联想与综合，利用各种知识间的内在联系，有目的的构造一个特定的数学模型，从而将一个命题转化成一个与之等价的命题。构造法同样是一种创新的思维方法，解题过程中要打破常规思维，另辟蹊径，巧妙的解决。 构造法历史发展过程：从数学产生的那天起，数学中的构造性方法就伴随着产生了。但是构造性方法这个术语的提出，以至把这个方法推向极端，并致力于这个方法的研究，是与数学基础的直观派有关。直观派出于对数学的“可行性”的考虑，提出一个著名的口号：“存在必须是被构造。”这就是构造主义。构造法的发展历史主要包括以下几个过程：（一）直观数学阶段，先驱者是19世纪末德国的克隆尼克他认为“定义应当包括由有限步骤所定义对象的计算方法，而存在性的证明对于要确立其存在的那个量，应当许可计算到任意的精确度。”但是，因为这种构造法外行人读起来十分困难，使之算法数学由于缺乏合适的框架来进行数学实践，而处于一种冬眠的状态。 构造法有以下两种基本特征： （一） （二）：实现的具体性，就是不只是判明某种解的存在性，而且要实现具体求解 2.1如何利用构造性方法解决方程类问题 方程的求解方法最早出现在我国的数学著作《九章算术》中，经过无数数学家的不懈努力，在十六世纪，已经找到三次和四次函数的求根公式，但至今无人能解决五次以上的代数方程的根式解。方程，作为中学数学最重要的考察内容之一，往往涉及到许许多多的难点和重点，考察的方式也多种多样，学生在做到尤其是需要构造法解决的问题时，常常会束手无策。如以下例题： 例1：已知，求证： 分析：学生在做这种题目时，会想到通过分母进行通分得到：，做到这思维往往就会停滞，不知如何开展，其实如果将不等式右边的代数式移到左边得，做到这，通过观察，分析可以联想到上述不等式与一元二次方程根的判别式：是相似的，通过逆向构造一元二次方程可得，进而通过判别式方法来解决。 以上例题重在考查学生能否通过已知条件和结论，性质与特征，构造出一元二次方程的模型，以及观察，发现，解决问题的能力。如果说上述方法重在创新，以下的例题则更强调对解题方法的记忆和理解。如以下在中学中最常见的方程练习题： 总结：在做上述例题时，并不对所有类似的题都是有效的，需要满足以下条件 （一）：根号内的未知数最高次项必须是相同的； （二）：最高次项前的系数必须是相同的； 只有满足以上两个条件才能用上诉的方法解答。在解方程类习题时，若果采用向思维难以解决时，或者越来越烦，可以考虑逆向思维，如：构造相思结构的方程等方式，将问题转换成一个自己熟悉的问题，从而巧妙简捷的解决问题。 2.2巧妙构造图像性质解决数学问题 数形转换是我们经常采用的构造方法之一，就是把代数与几何相结合，抽象与直观相联系，使问题直观化。比如说：在中学数学学习过程中，学生会经常遇到一些难以解决或者解起来很困难的函数类问题，如求函数的值域，如果通过常规法解题，需要先求出根号下一元二次函数的值域，然后再求总的函数的值域，过程相对较繁。但是我们通过观察会发现函数的图像就是一个圆，转化可得：，这样就可以很直观的得出函数的值域是，其次还有诸如数学符号“”可以将绝对值中的方程构造成点与点之间的距离；数学符号“”构造成平面中点到点的距离，圆，圆锥曲线等图像形式，当然，还有很多其他的一些构造图像解问题方法。通过下面例题的讲解，可以更加直观的了解构造图像解数学问题的优点。 例2：求函数的值域 解析：一般在做这种类型题目时，往往会采用分类讨论的思想，但是考虑的因素会较多，不便于书写。本题中可以看成坐标轴上的一点到点-2的距离与到点3处的距离之和，存在下面三种情况： 1.如图1.当点在-2和点3中间时，不管点是如何的移动，其距离之和总是-2到3之间的距离，即为5 （图1） 如图2. 当点处在点3的右侧时，随着点的不停右移，点到两点间的距离之和将越来越大且大于5 （图2） 如图3.当点处在-2的左侧时，随着点不停的左移，点到两点间的距离之和将越来越大，且大于5。 （图3） 综上所