常微分方程第一章探讨.ppt

第一章 绪论 1.1 微分方程的例子 1.2 微分方程的基本概念 1.3 微分方程论的问题 1.1 微分方程的例子 在自然科学和工程技术中许多现象都可以用微分方程作为其数学模型描述它。下面我们介绍有关方面的几个实例。 例一：一容器在开始时盛有盐水100升，其中含净盐10千克。现以每分钟3升的速率注入清水，同时以每分钟2升的速率将冲淡的溶液放出。容器中装有搅拌器使容器中的溶液保持均匀。求过程开始后一小时溶液的含盐量。 解：设在过程开始后t分钟容器内含盐 千克，我们求x与t的函数关系式。因为在t时刻，容器内的溶液为 故此时溶液的浓度为 §2 微分方程的基本概念 1．常微分方程与偏微分方程 2.线性和非线性 3．解和隐式解（积分） 4.通解、定解问题和特解 5.驻定、非驻定方程组 6.相空间，奇点和轨线 7.一阶方程解的几何意义 1．常微分方程与偏微分方程 所谓微分方程就是联系着自变量、未知函数以及它的导数的关系式。如果在微分方程中，自变量只有一个，称这种方程为常微分方程；如果自变量的个数多于一个，两个或两个以上这样的微分方程称为偏微分方程。 经常出现在实际问题中的微分方程有以下几种： 其中前两个是常微分方程，后三个是偏微分方程。本书中我们着重研究常微分方程，为简单起见，今后将常微分方程简称为微分方程或方程。在微分方程中，必定含有不可缺少的项是未知函数关于自变量的导数，否则不为微分方程，其中出现的最高阶数称为该微分方程的阶数。 一般n阶微分方程具有形式 但在实际讨论中，常将其写成所谓的标准形式 2.线性和非线性 3．解和隐式解（积分） 4.通解、定解问题和特解 7.一阶方程解的几何意义 1．积分曲线 2. 切线场 §3 微分方程的发展和问题 * * 考察从 到 这一小段时间。 在这段时间内，放出的溶液为2 升，因为时间短，浓度改变很小，所以可以认为浓度 保持不变，于是放出的溶液中含盐量微元 于是得到微分方程为 把它改写为 两边积分得 故有 由题意知道初值条件是 ，将其代入上式得 ，因此得到 与 的函数关系式 因此可知，在过程开始后一小时，亦即当 容器内溶液的含盐量为 返回 例2．R-L-C电路 R-L-C电路是由电阻R、电感L、电容C和电源e(t)串联组成的 电路，其中R，L及C为常数，电源电动势E=e(t)是时间的已知 函数。试建立当开关K合上后电路中的电流强度随时间变化关 系。 解 当开关 合上后，电路中经过电感 、电阻 和电容 设两极板间的电压为 ， 电感电动势 ，电流强度为 ，即 由基尔霍夫第二定律知 微分此式则有 这就是开关合上后电路中电流随时间的变化规律。 特别地，当电源电动势 为常数 ，则方程变为 若电路中还不含电阻即 ，则方程变为 3．单摆（力学模型） 数学摆是系于一根长度为l的线上而质量为m的质点M， 在重力mg的作用下，它在垂直于地面的平面上沿圆周运动， 试确定摆的运动方程。 设取反时针运动的方向作为计算摆与铅垂线所成的角 的正方向。质点M沿圆周切向速度 可以表示为 。 作用于质点M的重力mg将摆拉回平衡位置A。把重力mg分 解为两个分量 和 ，第一个分量 沿着半径OM的 方向，与线的拉力相抵消，它不会引起质点的速度 的数值 的改变。第二个分量 沿着圆周的切线方向，它引起质点 的速度 的数值的改变。因为 总 是使质点 M向着平衡 位置A的方向运动，既当 角为正时，向减少 的方向运 动；当角 为负时，向增大 的方向运动，所以 的数 值等于 。 因此，摆的运动方程是 即 只研究摆的微小振动，既当 比较小时的情况，我们 可以取 的近似值 代入方程，这样得到微小 振动时摆的运动方程