复变函数(第四版)--章节3.1探讨.ppt

一. 曲线的方向 复变函数的积分在有方向的曲线上进行，因此先研究曲线的方向。 设C 为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C 的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么称C 为有向曲线. 二 复变函数积分的定义 定义：函数f(z)定义域为D，曲线C在D内，起点A，终点B。 1）分割曲线C， A=z0,z1,...,zk-1,zk,...,zn=B 2）在每个小弧段 上任意取介点 ，小弧段向量 。作乘积： 3）求黎曼和(Riemann) 4) 分割无限加密取极限 其中λ是最长小弧段的长度 称此极限是函数f(z)沿曲线C从A到B的积分，记为 。若曲线是闭合的，记为 注： 1 函数在按段光滑的曲线上连续，则积分一定存在。 2 若曲线C就是x轴上的线段[a,b]，且复变函数f(z)=u(x)时，dz=dx。复变函数积分就是一元实变函数定积分。 三 积分的性质 四 积分的计算方法 1 化为第二类曲线积分 此法主要思路是利用自变量与函数的实部虚部x,y,u,v的形式化为第二类曲线积分。相当于用横纵坐标。详细证明如下: 2 化为对参数t的一元函数积分。 此法主要思路是利用曲线的参数表示法，将自变量z与函数 f 都表成 t。只对t做积分。详细证明如下： 详细证明：按照第二类曲线积分的算法 注：积分的两种运算方法的比较。 第一种方法先对被积分式运算化为成第二类曲线积分式，再代入曲线的表达式化成一元积分。 第二种方法先代入曲线的表达式对被积分式进行运算化简，则直接成为一元积分。 五 练习例题 例1 六 作业习题 1 思考何条件下，闭合曲线积分为零或非零。 2 思考何条件下，积分与路径无关。 3 作业：第三章习题 1，2，5题 Class is over 有点难 飞奔出教室 §3.1 复变函数积分的概念与性质 一 曲线的方向 二 积分的定义 三 积分的性质 四 积分的计算 五 练习例题 六 作业习题 A z1 z1 z2 z2 z3 z3 ... zk-1 zk zk Dzk B x y O A z1 z1 z2 z2 z3 z3 ... zk-1 zk zk Dzk B x y O 即：方向性，线性性质，路径可加性 证明: 取极限得 即：估值定理 解1：参数方程解法 直线方程为 积分与路径无关 解2:第二类曲线积分法 请同学们参照微积分课程知识自己运算第二类曲线积分！ 积分与路径无关 注：所以不论 C 是怎样的连接 0 与 3+4i 的曲线，积分值与曲线路径无关！ 例2 解 积分路径的参数方程为 注1：此圆包围被积函数的奇点z0，积分与半径无关。甚至与曲线是否是圆无关。 2：闭合曲线包围被积函数的奇点，积分通常非零。 解(1)： 积分路径的参数方程为 解(2)： 积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为 1到1+i直线段的参数方程为 注：本题积分值与路径有关