复变函数第19讲探讨.ppt

* 理论上讲，只要知道将 f (z) 在 z0 邻域内的洛朗级数，也就求出了f (z) 在该点处的留数, 实际上，展开式有时候并不是很好求的. * 观察规则Ⅱ的推导过程,就会发现,如果f(z)的极点z0的级数不是m.实际级数要比m低. 但公式仍然成立。 第五行有超链接 * 该定理为我们提供了一个计算包含全部有限孤立奇点的围线积分的有效方法 * 关于无穷远点留数的计算,有以下常用公式: * 观察规则Ⅱ的推导过程,就会发现,如果f(z)的极点z0的级数不是m.实际级数要比m低. 但公式仍然成立。 最后由超链接返回 * 第六章 留数理论及其应用 1、留数 2、用留数定理计算实积分 3、辐角原理及其应用 * 1、 留数的定义 §1 留 数 1.1 引入 * 0 (高阶导数公式) 0 (柯西-古萨基本定理) * 1.2 定义1 Residue * 注： * 2、 留数定理 定理1 证明 由复合闭路定理得 * D c zn z1 z3 z2 于是，得 留数定理非常重要，也为求积分提供了新方法！ * 3、 留数的计算 * 证明: 由条件,得 * 特别 注 可直接展开洛朗级数求 来计算留数 . 2. 在应用公式 时, 取得比实际的级数高. 级数高反而使计算方便. 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 为了计算方便一般不要将m 但有时把m取得比实际的 如 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时, * 证毕. 证明: * 例1 解: * 例2 解: * 例3 解: 例4 解: * 例5 解: 另解: * 例如取 m=6, 提示： 还有其他奇点？ * (这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向). 4、 无穷远点的留数 定义2 注 * 注意到： 再由无穷远点留数定义及留数定理，立即得到 定理2 若 在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，则 在所有奇点（包括无穷点）处的留数之和为零. * 命题 证明： * 说明: 定理二提供了计算函数沿闭 曲线积分的又一种方法: 此法在很多情况下此法更为简单. 解： 函数 在 的外部, 除 点外没有 其他奇点. * 与以下解法作比较 : 被积函数 有四个一级极点 都 在圆周 的内部 , 所以 可见, 利用无穷远点的留数更简单. * 例6 计算积分 C为正向圆周 : 解 除 被积函数 点外, 其他奇点为 则 由于 与 1在C的内部, 所以 * 练习 解: 所以 故 * 3、 留数的计算规则 本讲小结 1、 留数的定义 2、 留数定理 * * 证明: 由条件,得 * 从前一章的讨论可以见到，积分理论与级数理论之间的联系是十分紧密地。一方面，积分理论在建立级数理论的过程中起着十分重要的作用。另一方面，级数理论在解决某些积分理论不能解决的问题中，也起着特殊重要的作用。不仅如此，积分理论与级数理论的联系还会带来某些新的东西，这就是我们这章要介绍的留数理论。 * 从前一章的讨论可以见到，积分理论与级数理论之间的联系是十分紧密地，一方面，积分理论在建立级数理论过程中，起着十分重要的作用. 另一方面，级数理论在解决某些积分理论不能解决的问题中，也起着特殊重要的作用。不仅如此，几分理论与级数理论的联系还会带来某些新的东西。 当z0为f(z)的解析点时，结果为零，什么都没留下； 当z0为f(z)的孤立奇点时，结果通常为一个非零值； * 这一等式不仅进一步揭示了积分与级数的紧密联系，而且告诉我们，等式右端是一个特殊的数，既然是一个数，我们就可以赋予它一个特殊的名称。若不与历史上习惯的叫法一致的话，也可以称作别的名字。 * 留数也称残数，积分与半径无关。留数：回路积分留下的数； * 注意不要忘了2π I 应用步骤 确定回路L内的孤立奇点； 判断留数定理的条件是否满足； 计算各孤立奇点的留数； 代入定理。 * 从前一章的讨论可以见到，积分理论与级数理论之间的联系是十分紧密地。一方面，积分理论在建立级数理论的过程中起着十分重要的作用。另一方面，级数理论在解决某些积分理论不能解决的问题中，也起着特殊重要的作用。不仅如此，积分理论与级数理论的联系还会带来某些新的东西，这就是我们这章要介绍的留数理论。 * 从前一章的讨论可以见到，积分理论与级数理论之间的联系是十分紧密地，一方面，积分理论在建立级数理论过程中，起着十分重要的作用. 另一方面，级数理论在解决某些积分理论不能解决的问题中，也起着特殊重要的作用。不仅如此，几分理论与级数理论的联系还会带来某些新的东西。 当z0为f(z)的解析点时，结果为零，什么都没留下； 当z0为f(z)的孤立奇点时，结果通常为一个非零值； * 这一等式不仅进一步揭示了积分与级数的紧密联系，而且告诉我们，等式右端是一