复变函数应用留数求微积分探讨.ppt

* 留数定理是复变函数的定理，又是应用到回路积分的，因此要将定积分变为回路积分中的一部分。 §3 留数在定积分计算上的应用 如图，对于实积分 ，变量 x 定义在闭区间 [a,b] (线段 )，此区间应是回路 的一部分。实积分 要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中,而实积分成为回路积分的一部分： 1. 形如 的积分, 其中R(cosq,sinq )为cosq与sinq 的有理函数. 令 z =eiq ,则 dz=ieiq dq ,而 其中f (z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不为零, 根据留数定理有 其中zk (k=1,2,...,n)为单位圆 |z|=1内的 f (z)的孤立奇点. 例1 计算 的值. 令 z =eiq ,则 dz=ieiq dq ,而 [解] 所以原式 例2 计算 的值. 解：令 取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R为半径的在上半平面的半圆周. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内. z1 z2 z3 y CR -R R O x 不失一般性, 设 为一已约分式. 此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变. 例 4 当被积函数 R ( x ) 是 x 的有理函 数 , 而分母的次数至少比分子的次数高一次 , 并且 R ( x ) 在实轴上没有孤立奇点时 , 积分是存在的 . 3. 形如 的积分 z1 z2 z3 y CR -R R O x 如 2中处理一样： 此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变. 可以证明 也可写为 *