NA004b数值求积概要.ppt

§4龙贝格（Romberg）算法 在计算机上实现所谓龙贝格算法，就是二分过程中逐步形成T数表的具体方法，其步骤如下： * §3 复化求积 /* Composite Quadrature */ Haven’t we had enough formulae? What’s up now? Oh come on, you don’t seriously consider h=(b?a)/2 acceptable, do you? Why can’t you simply refine the partition if you have to be so picky? Don’t you forget the oscillatory nature of high- degree polynomials! Uh-oh 高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值 ? 分段低次合成的 Newton-Cotes 复化求积公式。 ? 复化梯形公式： 在每个 上用梯形公式： = Tn /*中值定理*/ §3 Composite Quadrature ? 复化 Simpson 公式： 4 4 4 4 4 = Sn 注：为方便编程，可采用另一记法：令 n’ = 2n 为偶数， 这时 ，有 例 对于函数 ，利用下表计算积分 0.8414709 0.8771925 0.9088516 0.9361556 0.9588510 0.9767267 0.9896158 0.9973978 解 将积分区间[0，1]划分为8等份， 应用复化梯形法求得 将区间[0，1]划分为4等份，应用复化辛普森法求得 两种算法计算量基本相同，但精度却差别很大，同准确值 比较复化梯形法的结果只有两位有效数字，而复化辛普森法的结果有六位有效数字。 §3 Composite Quadrature 解： 在区间[0，1]上， 例 分别用复化梯形公式与复化辛普森公式计算积分 的近似值，要求其截断误差小于等于 ，问各需取多少个节点? 由此得： ，取 ，则 需取 个节点。 用复化辛普森公式，有 则 由此可知 ，取 ，则只需 取 个节点。 §3 Composite Quadrature 用复化梯形公式求积时，有 §3 Composite Quadrature ? 收敛速度与误差估计： 定义 　　 若一个积分公式的误差满足 且C ? 0，则称该公式是 p 阶收敛的。 ~ ~ ~ 例：计算 解： 其中 = 3.138988494 其中 = 3.141592502 运算量基本相同 §3 Composite Quadrature Q: 给定精度 ?，如何取 n ? 例如：要求 ，如何判断 n = ？ ? 上例中若要求 ，则 即：取 n = 409 通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k 上例中2k ? 409 ? k = 9 时，T512 = 3 S4 = 3.141592502 注意到区间再次对分时 可用来判断计算 是否停止。 具体方法如下：用 作为 的近似值，则截断误差为 。那么由 与 来估计误差， 若： （ 为计算结果的允许误差），则停止计算，并取 作为积分的近似值； 是否满足…… 否则将区间再次分半后算出 ，并检验不 等式 将区间逐次分半进行计算（每分一次就进行一次计算），可以用 与 来估计误差，利用前后两次计算结果来判断误差的大小的方法，我们通常称作误差的事后估计法。 §3 Composite Quadrature 类似推导，还可得下列结论： 故 是满足精度要求的近似解。 解 可先算出 ，然后将区间分半（即二等 分），并计算 ，显然 不合要求，故再次将 区间分半（即四等分），并计算 ，因为 对于柯特斯公式，若 在[a