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小学数学问答手册 一、整数 1.为什么古代中国应称为数学王国？ 　　我国古代数学家，创造了光辉的业绩，在许多数学领域处于领先地位。因此我国应称为古代数学王国。仅举几例说明。 　　约公元前5世纪，我国数学家就研究了幻方。即从1到n2的自然数排列成纵横各有n个数的正方形，使每行、每列、有时还包括每条主对角线上的 　　方。如图，每行每列3个数的和都是15，而且两条主对角线上的3个数的和也都是15。西方人大约在14世纪才开始研究幻方构造。比我国晚约2000年。 　　公元1世纪，我国数学家就开始研究开平方法与开立方法。魏晋间杰出的数学家刘徽在公元263年又有所发展，而西方出现类似的方法晚于公元 390年。 　　我国对于一元同余方程组的研究约在公元400年时就开始了，到了秦九韶时代（公元1247年）已经有完整的解法，被世界称为“中国剩余定理。” 　　我国古代数学家祖冲之（429--500）在公元500年之前，已将圆周率计算到小数点后7位，得到3.1415926＜n＜3.1415927，又 　　结果的。 　　祖冲之之子祖暅提出“祖暅原理”之后的1200年，意大利数学家B.卡瓦列里才重新发现这个事实。 　　我们最早提出的代数方程的近似解法--秦九韶法，贾宪三角形或称杨辉三角形是世界上最早研究二项式展开式系数的三角形，比西方巴斯卡三角形早四五百年。 2.数的概念是怎样发展起来的？ 　　数的概念是由人类生产和生活的实践需要而逐渐形成和发展起来的。在人类历史发展的最初阶段，由于计量的需要，形成了自然数（也叫“正整数”）的概念。以后随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展。 　　为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的要求，人们引进了零及负数，把自然数看作正整数，把正整数、零、负整数合并在一起，构成整数。为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们又引进了 　　样，就把整数扩大为有理数。 　　为了解决这些量与量之间的比值（例如，正方形对角线和边长的比），不能用有理数表示，人们又引进了无理数。无理数就是无限不循环小数。有理数和无理数的全体组成实数。 　　实数概念的产生经过相当长的时间，然而在解方程中，像x2=-1无法解下去时，促使人们考虑数的概念还应继续发展。到16世纪，人们开始引进一个新数i，叫虚数单位，并明确规定i2=-1，使数的概念发展到复数。 3.怎样理解自然数的含义？ 　　在数（shǔ）物体个数的过程中，我们数（shǔ）出的一，二，三，四，五，……都叫做自然数。 　　谁也不能把自然数全部数出来或全部写出来。因此，自然数有无限多个。1是自然数的单位。任何自然数都是由若干个“1”组成的。1是最小的自然数，但是自然数没有最大的。 　　从集合的观点看，每一个自然数是一类等价的非空有限集合的标记。它表示非空有限集合中的元素的个数。例如，把两支铅笔作为一个集合，把一个人的两个耳朵作为一个集合，这两个集合是等价集合。又如，把五本练习本作为一个集合，把人的一只手上的手指作为一个集合，这两个集合也是等价集合。前者等价集合的标记是“2”，后者等价集合的标记是“5”。它们都是自然数。 4.自然数的性质有哪些？ 　　自然数的性质有下列几点： 　　（1） 1是自然数； 　　（2）每一个确定的自然数 a.都有一个确定的后继数 a′，a′也是自然数。（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数。例如，1的后继数是2，2的后继数是3，等等。）； 　　（3）如果b、c都是自然数a的后继数，那么b=c； 　　（4） 1不是任何自然数的后继数； 　　（5）任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n的后继数n′也真，那么，命题对所有自然数都真。 　　以上五条自然数的性质是由意大利数学家皮亚诺（1858--1932年）提出来的，通常把它叫做自然数的皮亚诺公理。其中的性质（5）是数学归纳法的依据。 5.怎样理解自然数列的含义？ 　　我们把自然数大家庭中的所有成员按照从小到大的顺序排成一列长长的队伍，自然数1是这个队伍的“排头兵”，2排在1的后面，3排在2的后面……这样一直排下去，谁也看不见这个队伍的排尾。我们把这样排成的一列长长的看不到尾的“队伍”叫做自然数列。 　　总之，从“一”起，把自然数按照由小到大的顺序排列起来，就得到一列数： 　　一、二、三、四、五、六……这个依次排列着的全体自然数的集合，叫做自然数列。 6.自然数列的性质有哪些？ 　　自然数列的性质主要有以下三点： 　　（1）自然数列是有序的。自然数列里的自然数都是按照一定顺序排列着的，在“1”后面的一个自然数是“2”，在“2”后面的一个自然数是“3”，……这就是说，每个自然数后面都有一个而且只有一个后继数。 　　（3）自然数列是无限的。自然