高中数学题库A集合与简易逻辑一元二次不等式.docVIP

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高中数学题库A集合与简易逻辑一元二次不等式

求使不等式ax2+4x-1≥-2x2-a对任意实数x恒成立的a的取值范围。 答案: 由不等式得(a+2)x2+4x+a-1≥0. ① ①对任意x∈R成立。 ⅰ)当a=-2时,①化为4x≥3,当x时不成立。 ⅱ)当a-2时,由二次函数性质①不恒成立。 ⅲ)当a-2时,△=4×[4-(a+2)(a-1)]≤0,即a2+a+2≥4,得a≥2,或a≤-3,综上所述,a≥2。 来源:08年数学竞赛专题二 题型:解答题,难度:中档已知不等式组 ①②的整数解恰好有两个,求a的取值范围。 答案: 因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a, x2=1-a, 若a≤0,则x1x2.①的解集为ax1-a,由②得x1-2a. 因为1-2a≥1-a,所以a≤0,所以不等式组无解。 若a0,ⅰ)当0a时,x1x2,①的解集为ax1-a. 因为0ax1-a1,所以不等式组无整数解。 ⅱ)当a=时,a=1-a,①无解。 ⅲ)当a时,a1-a,由②得x1-2a, 所以不等式组的解集为1-axa. 又不等式组的整数解恰有2个, 所以a-(1-a)1且a-(1-a)≤3, 所以1a≤2,并且当1a≤2时,不等式组恰有两个整数解0,1。 综上,a的取值范围是1a≤2. 来源:08年数学竞赛专题二 题型:解答题,难度:较难 已知f(x)=ax2+bx+c在[0,1]上满足|f(x)|≤1,试求|a|+|b|+|c|的最大值。 答案: 因为,所以, 所以|a|+|b|+|c|=|2f(1)+2f(0)-4f|+|4f-f(1)-3f(0)|+|f(0)| ≤3+|f(1)|+8|f|+6|f(0)|≤17. 另一方面,对于二次函数f(x)=8x2-8x+1,当x∈[0,1]时,|f(x)|≤1,且|a|+|b|+|c|=17,所以|a|+|b|+|c|的最大值为17。 来源:08年数学竞赛专题二 题型:解答题,难度:较难 对任意x∈[0,1],有 成立,求k的取值范围。 答案: 当x∈[0,1]时,有x2-2kx+k-40成立。 记f(x)=x2-2kx+k-4,当且仅当时-3k4. 记g(x)=x2-kx-k+3. 当x∈[0,1]时,g(x)0,由g(1)0可得k2. ⅰ)当0≤k2时,∈[0,1],g(x)0当且仅当,即-6k2,亦即0≤k2; ⅱ)当k0时,,g(x)0当且仅当g(1)0,即k2。 综上所述,对任意x∈[0,1],不等式组成立。当且仅当-3k2. 来源:08年数学竞赛专题二 题型:解答题,难度:较难 设f(x)=ax2+bx+c,a,b,c∈R, a100,试问满足|f(x)|≤50的整数x最多有几个? 答案: f(x)=a(x-x0)2+f(x0)。 ⅰ)若|f(x0)|≤50,因为满足|n-x0|1的整数至多有2个,所以满足|f(x)|≤50的整数x至多有2个。 ⅱ)若|f(x0)|50,若f(x0)50,则|f(x)|≤50无解;若f(x0)-50,设|f(n)|≤50,|f(n+k)|≤50,若k≥1,则|f(n+k)-f(n)|=|ak(2n+k-2x0)|≤100. 则k|2n+k-2x0|1,若n≥x0,则k无解,所以满足n≥x0且|f(x)|≤50的整数x至多有1个。同理可得若nn+k≤x0,则若k≥1,|k(2n+k-2k0)|1. ① 因为|k(2n+k-2k0)|=|k(2n+2k-2k0-k)||k|≥1, 所以满足①的k也不存在。 所以满足|f(x)|≤50的整数最多有2个。 例如,f(x)=101,当x=0,1时有|f(x)|50. 来源:08年数学竞赛专题二 题型:解答题,难度:较难 解关于x的不等式:mx2-3(m+1)x+90(m∈R) 答案: (1)m=0时 -3x+90 ∴x3 (2)m≠3时 当m0时 当m0时 10 0m1时, 20 m=1时,x≠3 30 m1时,x3或 来源: 题型:解答题,难度:中档 已知函数是定义在上的奇函数,当时,(为常数)。 (1)求函数的解析式; (2)当时,求在上的最小值,及取得最小值时的,并猜想在上的单调递增区间(不必证明); (3)当时,证明:函数的图象上至少有一个点落在直线上。 答案: (1)时,, 则 ∵函数是定义在上的奇函数,即 ∴,即 ,又可知 ∴函数的解析式为 , (2),∵,,∴ ∵ ∴,即 时, 。 猜想在上的单调递增区间为。 (3)时,任取,∵ ∴在上单调递增,即,即 ∵,∴,∴ ∴当时,函数的图象上至少有一个点落在直线上。 来源:08年高考探索性专

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