高中数学题库A集合与简易逻辑一元二次不等式.docVIP

求使不等式ax2+4x-1≥-2x2-a对任意实数x恒成立的a的取值范围。 答案： 由不等式得(a+2)x2+4x+a-1≥0. ① ①对任意x∈R成立。 ⅰ）当a=-2时，①化为4x≥3,当x时不成立。 ⅱ）当a-2时，由二次函数性质①不恒成立。 ⅲ）当a-2时，△=4×[4-(a+2)(a-1)]≤0，即a2+a+2≥4，得a≥2，或a≤-3，综上所述，a≥2。 来源：08年数学竞赛专题二 题型：解答题，难度：中档已知不等式组 ①②的整数解恰好有两个，求a的取值范围。 答案： 因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a, x2=1-a, 若a≤0，则x1x2.①的解集为ax1-a，由②得x1-2a. 因为1-2a≥1-a，所以a≤0,所以不等式组无解。 若a0，ⅰ）当0a时，x1x2,①的解集为ax1-a. 因为0ax1-a1，所以不等式组无整数解。 ⅱ）当a=时，a=1-a，①无解。 ⅲ）当a时，a1-a，由②得x1-2a， 所以不等式组的解集为1-axa. 又不等式组的整数解恰有2个， 所以a-(1-a)1且a-(1-a)≤3， 所以1a≤2，并且当1a≤2时，不等式组恰有两个整数解0，1。 综上，a的取值范围是1a≤2. 来源：08年数学竞赛专题二 题型：解答题，难度：较难 已知f(x)=ax2+bx+c在[0，1]上满足|f(x)|≤1,试求|a|+|b|+|c|的最大值。 答案： 因为，所以， 所以|a|+|b|+|c|=|2f(1)+2f(0)-4f|+|4f-f(1)-3f(0)|+|f(0)| ≤3+|f(1)|+8|f|+6|f(0)|≤17. 另一方面，对于二次函数f(x)=8x2-8x+1，当x∈[0,1]时，|f(x)|≤1,且|a|+|b|+|c|=17，所以|a|+|b|+|c|的最大值为17。 来源：08年数学竞赛专题二 题型：解答题，难度：较难 对任意x∈[0,1],有 成立，求k的取值范围。 答案： 当x∈[0,1]时，有x2-2kx+k-40成立。 记f(x)=x2-2kx+k-4，当且仅当时-3k4. 记g(x)=x2-kx-k+3. 当x∈[0,1]时，g(x)0，由g(1)0可得k2. ⅰ）当0≤k2时，∈[0，1]，g(x)0当且仅当，即-6k2，亦即0≤k2； ⅱ）当k0时，，g(x)0当且仅当g(1)0，即k2。 综上所述，对任意x∈[0，1]，不等式组成立。当且仅当-3k2. 来源：08年数学竞赛专题二 题型：解答题，难度：较难 设f(x)=ax2+bx+c，a,b,c∈R, a100，试问满足|f(x)|≤50的整数x最多有几个？ 答案： f(x)=a(x-x0)2+f(x0)。 ⅰ）若|f(x0)|≤50，因为满足|n-x0|1的整数至多有2个，所以满足|f(x)|≤50的整数x至多有2个。 ⅱ）若|f(x0)|50，若f(x0)50，则|f(x)|≤50无解；若f(x0)-50，设|f(n)|≤50,|f(n+k)|≤50,若k≥1,则|f(n+k)-f(n)|=|ak(2n+k-2x0)|≤100. 则k|2n+k-2x0|1，若n≥x0，则k无解，所以满足n≥x0且|f(x)|≤50的整数x至多有1个。同理可得若nn+k≤x0,则若k≥1,|k(2n+k-2k0)|1. ① 因为|k(2n+k-2k0)|=|k(2n+2k-2k0-k)||k|≥1， 所以满足①的k也不存在。 所以满足|f(x)|≤50的整数最多有2个。 例如，f(x)=101,当x=0,1时有|f(x)|50. 来源：08年数学竞赛专题二 题型：解答题，难度：较难 解关于x的不等式：mx2-3(m+1)x+90(m∈R) 答案： (1)m=0时 -3x+90 ∴x3 (2)m≠3时 当m0时 当m0时 10 0m1时， 20 m=1时，x≠3 30 m1时，x3或 来源： 题型：解答题，难度：中档 已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数）。 （1）求函数的解析式； （2）当时，求在上的最小值，及取得最小值时的，并猜想在上的单调递增区间（不必证明）； （3）当时，证明：函数的图象上至少有一个点落在直线上。 答案： （1）时，， 则 ∵函数是定义在上的奇函数，即 ∴，即 ，又可知 ∴函数的解析式为 ， （2），∵，，∴ ∵ ∴，即 时， 。 猜想在上的单调递增区间为。 （3）时，任取，∵ ∴在上单调递增，即，即 ∵，∴，∴ ∴当时，函数的图象上至少有一个点落在直线上。 来源：08年高考探索性专