高考第二轮复习-函数导数数列专题.docVIP

函数、导数、数列专项复习 设函数定义域为，当时，，且对任意，有 证明：（1） （2）对任意的，且在上是增函数. （3）设集合. ，若，求的取值范围. 解：（1）取，，有即 又， （2）当时，；当时，（I）知 当时，，又，，，综上所述，对任意的，有 设， ，， 是上的增函数. （3） ， ，即 ，即 ，直线与圆相离或相切 故 或 例2 若函数在区间内为减函数，在区间为增函数，试求当取的取值范围. 解： 令，解得或 （1）当时，在区间内 ，那么在内为增函数， 不合题意. （2）当时，在区间内不恒成立，那么在内不为减函数，不合题意. （3）当时，在区间内，所以在内为减函数，。在区间内，，所以在内为增函数，此时. （4）当时，在区间内不恒成立，那么在上为增函数不成立，不合题意，综上所述知为所求. 例3 用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积. 解：设容器底面边长为，则另一边长为，高为 由和得 设容器的容积为，则有 整理，得： 所以 令，有，即 解得：，（不合题意，舍去） 从而在定义域内只有在时，使，由题意，若过小（接近0）或过大（接近1.6）时，值很小（接近0），因此，当时，取得最大值. 这时，高为 答：容器的高为容积最大，最大容积为. 例4 已知函数，将满足的所有正数从小到大排成数列 （I）证明为等比数列. （II）记是数列前项和，求 解： 令，得，解得，为整数 （I） ，则 所以，数列是公比的等比数列，是首项 （II）（是首项为，公差为的等差数列，而数列是首项为，公比的等比数列，所以是由等差，等比数列对应项的积组成的数列，求和时可以用错位相减的方法 ，其中 所以 化简得：，其中 这样数列的通项分解为3个部分，第一部分是常数列，第二部分是等比数列，第三部分又是由等差、等比数列对应项乘积组成的数列，分别对这三个数列求和，就可以得到数列的前项和即有： 所以 已知是由非负整数组成的数列，满足，， （I）求； （II）证明 （III）求的通项公式及前项和. 解：（I）由题设得：，且均为非负整数，所以的可能的值为1，2，5，10 若，则，与题设矛盾 若，则，与题设矛盾 若，则，，与题设矛盾 所以 （II）用数学归纳法证明： 当时，，等式成立 ② 假设当时等式成立，即 由题设有： 因为 所以 也就是说，当时，等式成立 根据①和②，对于所有，有，而 （III）当为偶数时， 当为奇数时， ， 当为偶数时， 当为奇数时， 即 例6 设为常数，且 （I）证明对任意， （II）假设对任意，都有，求的取值范围. 证明：（I）法一：（数学归纳法） （i），即，∴当时，等式成立。 （ii）假设时等式成立，即 那么 也就是说，当时，等式也成立。 根据(i)(ii)可知，等式对于任何成立。 法二： 是公比为，首项为的等比数列 即 （II） 所以等价于① （1）当为奇数时，①式： （2）当为偶数时，①式： 综上所述，①式对任意成立，有 故的取值范围是 练习 1．已知为实数， （1）求导数； （2）若，求在上的最大值和最小值； （3）若在和上都是递增的，求的取值范围。 解：（1）， （2）令，解得，此时 由，得：或 又，，， 所以在上最大值为，最小值为 （3） 为开口向上且过点的抛物线，由条件知：， 即 解得： 所以的取值范围是 2．已知函数 （1）若在上是增函数，试求的取值范围； （2）求的最小值 解：（1） 依题意在上，恒有：，，即 又， （2），令 ①当，即时，在上恒成立，上是增函数. 在上无最小值. ②当，即时 若时，，若时 ③当即时，在上恒成立. 在上是减函数， 综上所述，当时，无最小值。当时，，当时， 3．已知，函数，设，记曲线在点处的切线为 （I）求的方程； （II）设与轴交点为，证明（i）（ii），则 解：（I），由此得切线的方程为 （II）依题意，切线方程中令，有 即 其中 (i)，， 又 ，当且仅当时， (ii)当时，，，且由(i) 所以 4．设，求函数的单调区间. 解： 当时， （i）当时，，所以，对所有的，有 即时，，此时，在内单调递增. （ii