2004-2013浙江11市中考数学专题12最值问题.docVIP

2004-2013年市中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编 专题12：最值问题 一、选择题 （2009年浙江湖州3分）已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？【 】 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C。 【考点】网格问题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反证法。 【分析】建立如图所示的坐标系：设方格左下角为（0，0），沿着方格的边建立直角坐标系。 设过D（3，0），（4，0）的抛物线为， 将C（2，1）代入，得。 ∴过D（3，0），（4，0）的抛物线可以为。 可以验证，它能经过8个格点：（0，6），（1，3），（2，1），（3，0），（4，0），（5，1），（6，3），（7，6）。 对于任意的二次函数，如果我们依次考察x=0，1，2，…，8时的值，并依次用后一个值减去前一个值，总得到一个等差数列．要使经过的格点尽量多，则这个等差数列的公差要尽量小，且为整数． 因此，令公差为1，这相当于取二次项系数为。 对于9个格点，如果抛物线经过9个格点，那么在抛物线的顶点及一侧至少经过5个格点，由于这5个格点的横坐标都差1，考虑到抛物线的递增或递减趋势，这5点的纵坐标的极差不小于1+2+3+4=10，显然这5个格点不全在8×8网格之内。 故选C。 （20年浙江台州4分）如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为 A．－3 　 B．1 C．5 D．8 【答案】D 【考点】【分析】当点C横坐标为3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，且CD=8，故C（0，0），D（8，0）由于此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8故选D（2011年浙江台州4分）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动 点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为【 】 A． B． C．3 D．2 【答案】B。 【考点】圆的切线的性质，垂线段的性质，勾股定理。 【分析】因为PQ为切线，所以△OPQ是Rt△．又OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最小．根据垂线段最短，知OP=3时PQ最小．运用勾股定理得PQ=。故选B。 （2012年浙江湖州3分）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于【 】 A． B． C．3 D．4 【答案】A。 【考点】二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M， ∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM。 ∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA=OA=2。 由勾股定理得：DE=。 设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x， ∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE。 ∴，即，解得：。 ∴BF+CM=。故选A。 （2012年浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】 　 A． 1 B． C． 2 D．＋1 【答案】B。 【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】分两步分析： （1）若点P，Q固定，此时点K的位置：如图，作点P关于BD的对称点P1，连接P1Q，交BD于点K1。 由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得 P1K1 = P K1，P1K=PK。 由三角形两边之和大于第三边的性质，得P1K＋QK＞P1Q= P1K1＋Q K1= P K1＋Q K1。 ∴此时的K1就是使PK+QK最小的位置。 （2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点