2004-2013浙江11市中考数学专题10存在性问题.docVIP

2002-2013年市中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编 专题10：存在性问题 一、选择题 二、填空题 （2006年浙江金华5分）如图，点M是直线y＝2＋3上的动点，过点M作MN垂直于轴于点N， 轴上是否存在点P，使△MNP为等腰直角三角形.小明发现：当动点M运动到（－1，1）时，y轴上存 在点P（0，1）,此时有MN=MP，能使△NMP为等腰直角三角形.那么，在y轴和直线上是否还存在符合 条件的点P和点M呢？请你写出其它符合条件的点P的坐标 ▲ ． 【答案】（0，0），（0，），（0，－3）。 【考点】动点问题，等腰直角三角形的判定和性质，分类思想的应用。 【分析】由题意，应分M在第二象限和第三象限两类情况讨论：每种情况又分MN为直角边时和MN为斜边两种情况： ①当M在第二象限，运动到（－1，1）时，ON=1，MN=1， ∵MN⊥x轴，∴由ON=MN可知，（0，0）是符合条件的P点； 若MN为斜边时，则NP=MP，∠MNP=45°， 设点M（x，2x+3），则OP=ON，而OP=MN， 则有，解得。 这时点P的坐标为（0，）。 ②当M运动到第三象限时， 若MN=MP，且PM⊥MN，设点M（x，2x+3）， 则有，解得x=－3，这时点P坐标为（0，－3）。 若MN为斜边，则∠ONP=45°，ON=OP，设点M（x，2x+3）， 则有，这方程无解，所以这时不存在符合条件的P点。 综上所述，其他符合条件的点P坐标是（0，0），（0， ），（0，－3）。 三、解答题（2004年浙江温州12分）如图甲，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点(不运动至M，C),以AB为直径作⊙O，过点P的切线交AD于点F，切点为E。 （1）求四边形CDFP的周长； （2）请连结OF，OP，求证：OF⊥OP； （3）延长DC，FP相交于点G，连结OE并延长交直线DC于H(如图乙)。是否存在点P使 △EFO∽△EHG（其对应关系是EE，FH，OG）？如果存在，试求此时的BP的长；如果不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形 ，∴∠A=∠B=900。∴AF、BP都是⊙O的切线。 又∵PF是⊙O的切线， ∴EF=FA，PE=PB 。 ∴四边形CDFP的周长为AD+DC+CB=2×3=6。 （2）证明：连结OE， ∵PF是⊙O的切线，∴OE⊥PF。 在Rt△AOF和Rt△EOF中，∵AO=EO，OF=OF， ∴Rt△AOF∽Rt△EOF。∴∠AOF=∠EOF。 同理∠BOP=∠EOP。 ∴∠EOF+∠EOP=×180°=90°。 ∴∠EOP=90°，即OF⊥OP 。 （3）存在。 ∵∠EOF=∠AOF，∴∠EHG=∠AOE=2∠EOF。 ∴当∠EHG=∠AOE=2∠EOF,即∠EOF=30°时，Rt△EOF∽Rt△EHG。 此时∠EOF=30°，∠BOP=∠EOP=90°－30°=60°。 ∴BP=OB·tan60°=。 【考点】正方形的性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义。 【分析】（1）根据切线的性质，将所求四边形CDFP的边转化为已知正方形ABCD的边，即可求得。 （2）连结OE，根据切线的性质和相似三角形的判定和性质，求出∠EOF+∠EOP=×180°=90°，即可根据三角形内角和定理得到∠EOP=90°，即OF⊥OP 。 （3）要△EFO∽△EHG，必须∠EHG=∠EFO=2∠EOF=60°，在直角△OBP中，由正切定理可求出BP的长。 （2004年浙江金华12分）已知：四边形ABCD为圆内接矩形，过点D作圆的切线DP，交BA的延长线于点P，且PD=15，PA=9。 （1）求AD与AB的长； （2）如果点E为PD的一个动点（不与运动至P，D），过点E作直线EF，交PB于点F，并将四边形PBCD的周长平分，记△PEF的面积为y，PE的长为x，请求出y关于x的函数关系式； （3）如果点E为折线DCB上一个动点（不与运动至D，B），过点E作直线EF交PB于点F，试猜想直线EF能否将四边形PBCD的周长和面积同时平分？若能，请求出BF的长；若不能，请说明理由。 【答案】解：（1）如图1连接BD， ∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥PB。 ∴∠PAD=∠BAD=90°。 ∴△PAD与△ABD都是直角三角形。 ∵PD=15，PA=9，∴AD=12。 ∵DP切⊙O于D，∴BD⊥DP。∴∠PDB=90°。 ∵∠P＋∠ADP=∠ADP＋∠ADB=90°，∴∠P=∠ADB。 ∵，∴。 ∴AB=AD?tan∠ADB= 。 （2）如图2，过点E作直线EF，交PB于点F，并将四边形P